题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/96/c017f270.png)
(1)求抛物线l的解析式(用含m的式子表示);
(2)把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处,连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E,若抛物线l与线段CE相交,求实数m的取值范围;
(3)在满足(2)的条件下,求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标.
分析:(1)设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c,将A、D、M三点的坐标代入,运用待定系数法即可求解;
(2)设A′D与x轴交于点Q,过点A′作A′N⊥x轴于点N.根据轴对称及平行线的性质得出DQ=OQ=x,则A′Q=2m-x,OA′=m,在Rt△OA′Q中运用勾股定理求出x,得出A′点坐标,运用待定系数法得到直线OA′的解析式,确定E点坐标(4m,-3m),根据抛物线l与线段CE相交,列出关于m的不等式组,求出解集即可;
(3)根据二次函数的性质,结合(2)中求出的实数m的取值范围,即可求解.
(2)设A′D与x轴交于点Q,过点A′作A′N⊥x轴于点N.根据轴对称及平行线的性质得出DQ=OQ=x,则A′Q=2m-x,OA′=m,在Rt△OA′Q中运用勾股定理求出x,得出A′点坐标,运用待定系数法得到直线OA′的解析式,确定E点坐标(4m,-3m),根据抛物线l与线段CE相交,列出关于m的不等式组,求出解集即可;
(3)根据二次函数的性质,结合(2)中求出的实数m的取值范围,即可求解.
解答:解:(1)设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c,
将A(0,m),D(2m,m),M(-1,-1-m)三点的坐标代入,
得
,解得
,
所以抛物线l的解析式为y=-x2+2mx+m;
(2)设A′D与x轴交于点Q,过点A′作A′N⊥x轴于点N.
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处,
∴△OAD≌△OA′D,OA=OA′=m,AD=A′D=2m,∠OAD=∠OA′D=90°,∠ADO=∠A′DO,
∵矩形OABC中,AD∥OC,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201312/133/1048a2e0.png)
∴∠ADO=∠DOQ,
∴∠A′DO=∠DOQ,
∴DQ=OQ.
设DQ=OQ=x,则A′Q=2m-x,
在Rt△OA′Q中,∵OA′2+A′Q2=OQ2,
∴m2+(2m-x)2=x2,
解得x=
m.
∵S△OA′Q=
OQ•A′N=
OA′•A′Q,
∴A′N=
=
m,
∴ON=
=
m,
∴A′点坐标为(
m,-
m),
易求直线OA′的解析式为y=-
x,
当x=4m时,y=-
×4m=-3m,
∴E点坐标为(4m,-3m).
当x=4m时,-x2+2mx+m=-(4m)2+2m•4m+m=-8m2+m,
即抛物线l与直线CE的交点为(4m,-8m2+m),
∵抛物线l与线段CE相交,
∴-3m≤-8m2+m≤0,
∵m>0,
∴-3≤-8m+1≤0,
解得
≤m≤
;
(3)∵y=-x2+2mx+m=-(x-m)2+m2+m,
≤m≤
,
∴当x=m时,y有最大值m2+m,
又∵m2+m=(m+
)2-
,
∴当
≤m≤
时,m2+m随m的增大而增大,
∴当m=
时,顶点P到达最高位置,m2+m=(
)2+
=
,
故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为(
,
).
将A(0,m),D(2m,m),M(-1,-1-m)三点的坐标代入,
得
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所以抛物线l的解析式为y=-x2+2mx+m;
(2)设A′D与x轴交于点Q,过点A′作A′N⊥x轴于点N.
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处,
∴△OAD≌△OA′D,OA=OA′=m,AD=A′D=2m,∠OAD=∠OA′D=90°,∠ADO=∠A′DO,
∵矩形OABC中,AD∥OC,
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201312/133/1048a2e0.png)
∴∠ADO=∠DOQ,
∴∠A′DO=∠DOQ,
∴DQ=OQ.
设DQ=OQ=x,则A′Q=2m-x,
在Rt△OA′Q中,∵OA′2+A′Q2=OQ2,
∴m2+(2m-x)2=x2,
解得x=
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∵S△OA′Q=
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∴A′N=
m•
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∴ON=
OA′2-A′N2 |
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∴A′点坐标为(
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3 |
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易求直线OA′的解析式为y=-
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当x=4m时,y=-
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∴E点坐标为(4m,-3m).
当x=4m时,-x2+2mx+m=-(4m)2+2m•4m+m=-8m2+m,
即抛物线l与直线CE的交点为(4m,-8m2+m),
∵抛物线l与线段CE相交,
∴-3m≤-8m2+m≤0,
∵m>0,
∴-3≤-8m+1≤0,
解得
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(3)∵y=-x2+2mx+m=-(x-m)2+m2+m,
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∴当x=m时,y有最大值m2+m,
又∵m2+m=(m+
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∴当
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∴当m=
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故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为(
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点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,轴对称的性质,勾股定理,两个函数交点坐标的求法,二次函数、矩形的性质,解不等式组等知识,综合性较强,有一定难度.(2)中求出A′点的坐标是解题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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