Question

（2013•珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A₁B₁C₁D₁，由顺次连接正方形A₁B₁C₁D₁四边的中点得到第二个正方形A₂B₂C₂D₂…，以此类推，则第六个正方形A₆B₆C₆D₆周长是

1

2

．

Answer 1

分析：根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A₆B₆C₆D₆ 的周长．

解答：解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A₁B₁C₁D₁，则得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，即

1

2

，则周长是原来的

2

2

；
顺次连接正方形A₁B₁C₁D₁中点得正方形A₂B₂C₂D₂，则正方形A₂B₂C₂D₂的面积为正方形A₁B₁C₁D₁面积的一半，即

1

4

，则周长是原来的

1

2

；
顺次连接正方形A₂B₂C₂D₂得正方形A₃B₃C₃D₃，则正方形A₃B₃C₃D₃的面积为正方形A₂B₂C₂D₂面积的一半，即

1

8

，则周长是原来的

2

4

；
顺次连接正方形A₃B₃C₃D₃中点得正方形A₄B₄C₄D₄，则正方形A₄B₄C₄D₄的面积为正方形A₃B₃C₃D₃面积的一半

1

16

，则周长是原来的

1

4

；
…
故第n个正方形周长是原来的

1 2n

，
以此类推：第六个正方形A₆B₆C₆D₆周长是原来的

1

8

，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴周长为4，
∴第六个正方形A₆B₆C₆D₆周长是

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．