题目内容

【题目】如图1,ABCD 中,∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F.

(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;

(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.连接AF、CE,分别交BE、FD于点G、H,得到四边形EGFH.此时,他猜想四边形EGFH是平行四边形,请在框图(图2)中补全他的证明思路.

【答案】(1)四边形EBFD是平行四边形.

(2)GF∥EH,AE∥CF;

【解析】

试题分析:(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,∠ABC=∠ADC.AD=BC,由角平分线得出∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF.证出EB∥DF,即可得出结论;

(2)由平行四边形的性质得出BE∥DF,DE=BF,得出AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形,得出GF∥EH,即可证出四边形EGFH是平行四边形.

试题解析:(1)证明:在ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC.AD=BC,

∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠EBC=∠ABC.

∵DF平分∠ADC,

∴∠ADF=∠CDF=∠ADC.

∵∠ABC=∠ADC.

∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF.

∵AD∥BC,

∴∠AEB=∠EBC.

∴∠AEB=∠ADF.

∴EB∥DF.

∵ED∥BF,

∴四边形EBFD是平行四边形.

(2)补全思路:GF∥EH,AE∥CF;理由如下:

∵四边形EBFD是平行四边形;

∴BE∥DF,DE=BF,

∴AE=CF,

又∵AE∥CF,

∴四边形AFCE是平行四边形,

∴GF∥EH,

∴四边形EGFH是平行四边形.

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