题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知动点P(t-6,)在定直线l1上运动.
(1) 求直线l1的函数解析式;
(2) 如图1,l1与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称,过点P作y轴的平行线,交x轴于点M,交直线BC于点Q;
① 若△PQB的面积为3,求点M的坐标;
② 如图2,连接BM.若∠BMP=∠BAC,求点P的坐标.
【答案】(1) ;(2)①或;②()或().
【解析】
(1)由点P的横坐标x= t-6,纵坐标y=,消元消去t即可得到解析式;
(2)①分点M在y轴左侧和右侧;先求出直线QC的解析式,然后再用t的代数式表示PQ的长度,根据△BPQ的面积求出t的值,最后求出M点的坐标;
②由对称得出∠BAC=∠ACB,且∠BMP+∠BMC=90°,所以得到∠MBC=90°时即可满足题意,利用待定系数法得出直线BM解析式,再令y=0即可得出结论.
解:(1)由P(t-6,)可知:
横坐标x= t-6,即t=x+6,代入y=中,消去t,
得到:y=
故直线l1的函数解析式为:.
故答案为:.
(2)①设M点坐标为(m,0),则P(m, )
令中y=0,得到A(-6,0),令x=0,得到B(0,3)
又A、C关于y轴对称,∴C(6,0)
设BC的解析式为:y=kx+b,代入B(0,3)和(6,0)
即:,解得
∴BC的解析式为:,∴Q(m, )
∴PQ=
过B点作BD⊥PQ于D,如下图1所示:
则BD=
∴
∴
故M的坐标为:或.
故答案为:或.
②当点M在y轴的左侧时,如下图所示:
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA
∵∠BMP=∠BAC,
∴∠BMP=∠BCA
∵∠BMP+∠BMC=90°,
∴∠BMC+∠BCA=90°
∴∠MBC=180°-(∠BMC+∠BCA)=90°
∴BM2+BC2=MC2
设M(x,0),则P()
∴BM2=OM2+OB2=x2+9,MC2=(6-x)2,BC2=OC2+OB2=62+32=45
∴x2+9+45=(6-x)2
解得:x=,故P点坐标为().
当点M在y轴的右侧时,如下图所示:
由对称性可得:OM=
∴P点横坐标为,代入AB解析式中
得到P点坐标为:()
综上所述,故P点的坐标为:()或().
故答案为:()或().