题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图1).
(1)当α=60°时,△CBD的形状是______;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当α=90°时,(如图2).请探究:经过点D,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由.
(1)当α=60°时,△CBD的形状是______;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当α=90°时,(如图2).请探究:经过点D,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由.
(1)∵图形旋转后BC=CD,∠BCD=∠α=60°
∴△BCD是等边三角形;
(2)设AH=x,则HB=AB-AH=6-x,
依题意可得:AB=OC=6,BC=OA=4,
在Rt△BHC中,HC2=BC2+HB2,
即x2-(6-x)2=16,
解得x=
.
∴H(
,4).
设y=kx+b,把H(
,4),C(6,0)代入y=kx+b,
得
解得
∴y=-
x+
.
(3)抛物线顶点为B(6,4),
设y=a(x-6)2+4,
把D(10,0)代入得:a=-
.
∴y=-
(x-6)2+4(或y=-
x2+3x-5).
依题可得,点M坐标为(8,3),
把x=8代入y=-
(x-6)2+4,得y=3.
∴抛物线经过矩形CFED的对称中心M.
∴△BCD是等边三角形;
(2)设AH=x,则HB=AB-AH=6-x,
依题意可得:AB=OC=6,BC=OA=4,
在Rt△BHC中,HC2=BC2+HB2,
即x2-(6-x)2=16,
解得x=
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3 |
∴H(
13 |
3 |
设y=kx+b,把H(
13 |
3 |
得
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解得
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∴y=-
12 |
5 |
72 |
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(3)抛物线顶点为B(6,4),
设y=a(x-6)2+4,
把D(10,0)代入得:a=-
1 |
4 |
∴y=-
1 |
4 |
1 |
4 |
依题可得,点M坐标为(8,3),
把x=8代入y=-
1 |
4 |
∴抛物线经过矩形CFED的对称中心M.
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