Question

【题目】如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．

（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG=RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A（﹣3，0），B（0，3），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，

∴ 解得 ，

∴b=﹣2，c=3

（2）

解：对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，

∴点C坐标（1，0），

∵AD=DC=2，

∴点D坐标（﹣1，0），

∵BE=2ED，

∴点E坐标（﹣ ，1），

设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到 解得 ，

∴直线CE为y=﹣ x+ ，

由 解得 或 ，

∴点M坐标（﹣ ， ）

（3）

解：①∵△AGQ，△APR是等边三角形，

∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，

∴∠QAR=∠GAP，

在△QAR和△GAP中，

，

∴△QAR≌△GAP，

∴QR=PG．

②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，

∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，

作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．

∵∠GAO=60°，AO=3，

∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，

∵∠QGA=60°，

∴∠QGO=90°，

∴点Q坐标（﹣6，3 ），

在RT△QCN中，QN=3 ，CN=7，∠QNC=90°，

∴QC= =2 ，

∵sin∠ACM= = ，

∴AM= ，

∵△APR是等边三角形，

∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°= ，

∴AP= ，PM=RM=

∴MC= = ，

∴PC=CM﹣PM= ，

∵ = = ，

∴CK= ，PK= ，

∴OK=CK﹣CO= ，

∴点P坐标（﹣ ， ）．

∴PA+PC+PG的最小值为2 ，此时点P的坐标（﹣ ， ）．

【解析】（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM= = 求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．