题目内容

已知α、β是方程x2+5x+1=0的两个根,求
α
β
+
β
α
的值.
分析:由已知方程找出a,b及c,计算出b2-4ac的值大于0,故利用根与系数的关系求出α+β及αβ的值,根据α+β及αβ的值判断出两根同时为负,所以把所求的式子分子分母同时乘以分母,利用绝对值的代数意义:负数的绝对值等于它的相反数化简且把αβ的值代入后,提取-1,括号里通分后再把两根之和与两根之积代入即可求出值.
解答:解:∵α、β是方程x2+5x+1=0的两个根,
而a=1,b=5,c=1,
∴b2-4ac=25-4=21>0,
∴α+β=-
b
a
=-
5
1
=-5,αβ=
c
a
=
1
1
=1,
∴α与β同时为负,
αβ
β2
+
αβ
α2
=
αβ
|β|
+
αβ
|α|

=-(
αβ
β
+
αβ
α

=-(
1
β
+
1
α

=-
α+β
αβ

=-
-5
1

=5.
点评:此题考查了二次根式的化简求值,以及一元二次方程根与系数的关系,解答此类题往往先根据方程找出a,b及c的值,在方程有解的前提下,由根与系数的关系求出两根之积与两根之和的值,然后把所求的式子通分、配方、提取公因式等方法化为与两个之和及两根之积有关的式子,整体代入即可求出值.学生在利用根与系数关系时注意方程有解这个前提条件.
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