题目内容

【题目】如图,边长为6的正方形中,分别是上的点,为垂足.

(1)如图①, AF=BFAE=2,点T是射线PF上的一个动点,则当△ABT为直角三角形时,求AT的长;

(2)如图②,若,连接,求证:

【答案】(1) 333;(2)见解析.

【解析】分析:1)解RtBAEtanABE==得出∠ABE=30°.然后分三种情况进行讨论①当点TAB的上方ATB=90°显然点T和点P重合易求AT=AP=AB=3②当点TAB的下方ATB=90°根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得TF=BF=AF=3而∠BFT=60°,那么 FTB是等边三角形TB=3再根据勾股定理求出AT==3

③当点TAB的下方ABT=90°时.在RtATB中利用勾股定理求出AT

2)先证明∠1=3=4tan1=tan3=得出=等量代换得到=.再证明△PBC∽△PAF得出∠5=6进而可得∠5+∠7=90°,即∠CPF=90°,那么CPFP

详解:(1)在正方形ABCD可得∠DAB=90°.

∵在RtBAEtanABE===∴∠ABE=30°.

T是射线PF上的一个动点当△ABT为直角三角形时分三种情况

①当点TAB的上方ATB=90°,显然此时点T和点P重合AT=AP=AB=3

②当点TAB的下方ATB=90°,如图①所示.

RtAPBAF=BF可得AF=BF=PF=3∴∠BPF=FBP=30°,∴∠BFT=60°.

RtATBTF=BF=AF=3∴△FTB是等边三角形TB=3AT==3

③当点TAB的下方ABT=90°如图②所示.

RtFBTBFT=60°,BF=3BT=BFtan60°=3

RtATBAT==3

综上所述当△ABT为直角三角形时AT的长为333

2)如图③所示.

∵四边形ABCD是正方形AB=AD=BCADBCDAB=90°,∴∠3=4

∵在RtEABAPBE∴∠1+∠2=90°,3+∠2=90°,∴∠1=3∴∠1=3=4

tan1=tan3==

AE=AFAB=BC=

在△PBC和△PAF中,∵,∠4=∠1∴△PBC∽△PAF∴∠5=6

∵∠6+∠7=90/span>°,∴∠5+∠7=90°,即∠CPF=90°,CPFP

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