题目内容

定义{a，b，c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2-2x+3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数”是{0，2，3}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}
（1）将“特征数”是的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是y=；
（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线x=分别交于D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；
（3）若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象的有交点，求满足条件的实数b的取值范围．

【答案】分析：（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．
（2）判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC=2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长=2×4=8；
（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y=（x-b）2+，确定二次函数的图象不会经过点B和点C，再将菱形顶点A（0，1），D（）代入二次函数解析式得出实数b的取值范围．
解答：解：（1）y=（1分）“特征数”是的函数，
即y=+1，
该函数图象向下平移2个单位，得y=．

（2）由题意可知y=向下平移两个单位得y=
∴AD∥BC，AB=2．
∵，
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
，
得C点坐标为（，0），
∴D（）
由勾股定理可得BC=2
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2
∴四边形ABCD为菱形．
∴周长为8．

（3）二次函数为：y=x2-2bx+b2+，化为顶点式为：y=（x-b）2+，
∴二次函数的图象不会经过点B和点C．
设二次函数的图象与四边形有公共部分，
当二次函数的图象经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，
解得b=-，b=（不合题意，舍去），
当二次函数的图象经过点D时，
将D（），代入二次函数，
解得b=+，b=（不合题意，舍去），
所以实数b的取值范围：．
点评：本题结合“特征数”的定义考查一次函数，二次函数的综合应用，综合性强，能力要求高．
练习册系列答案
相关题目
6、定义（p，q）为一次函数y=px+q的特征数．若特征数是（2，k-2）的一次函数为正比例函数，则k的值是（　　）
定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-4m，2m-1]的函数的一些结论：①当m=
1
2
时，函数图象的顶点坐标是(
1
2
，-
1
4
)；②当m=-1时，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论m取何值，函数图象都经过同一个点．其中所有的正确结论有
 
．（填写正确结论的序号）
（2012•江干区一模）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2k，1-k，-1-k]，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值是
0
0
．
定义{a，b，c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2-2x+3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数”是{0，2，3}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}
（1）将“特征数”是{1，-4，1}的函数的图象向下平移2个单位，得到一个新函数图象，求这个新函数图象的解析式；
（2）“特征数”是{0，-
3
3
，
3
}的函数图象与x、y轴分别交点C、D，“特征数”是{0，-
3
，
3
}的函数图象与x轴交于点E，点O是原点，判断△ODC与△OED是否相似，请说明理由．
定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论：
①当m=-1时，函数图象的顶点坐标是（
1
2
，4）； 
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
3
2
；
③当m＜0时，函数在x＜
1
4
时，y随x的增大而增大；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．  
其中正确的结论有
②③④
②③④
．（只需填写序号）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网