题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B（0，12），点A在第一象限内，△AOB为等腰三角形，∠BAO=90°，AB=AO，AC⊥OB，点D从点B出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向终点O运动，连接DA，过点A作AE⊥AD，射线AE交x轴于点E，连接BE，交线段AC于点F，交线段OA于点G．
（1）请直接写出A的坐标；
（2）点D运动的时间为t秒时，用含t的代数式表示△ACD的面积S，并写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当四边形DAEO的面积等于6S时，求△AGF的面积．
【答案】（1）A（6，6）；（2）当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，S= 18﹣6t，当点D在线段BC上时（不包括点C），即：3＜t≤6，∴S= 6t﹣18；（3）①当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，S△AFG=6；②当点D在线段OC上（不包括点C），即：3＜t≤6，S△AFG=
．
【解析】
（1）先确定出OB=12，再用等腰直角三角形的性质得AC=BC=OC=
OB=6，即可得出结论；
（2）当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，得出CD=BC-BD=6-2t，利用三角形面积公式即可；
当点D在线段BC上时（不包括点C），即：3＜t≤6，如图2，CD=BD-BC=2t-6，最后利用三角形面积公式即可；
（3）①当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，如图1，先判断出S△ACD=S△AME，进而S四边形DOEA=S正方形ACOM=AC2=36，即可求出S，进而t=2，CD=EM=2，OE=4，再求出AF=AC-CF=4=OE，最后判断出△AFG≌△OEG，求出PG=QG=6即可得出结论；
②当点D在线段OC上（不包括点C），即：3＜t≤6，如图2，同①的方法知，S=6，t=4，CD=EM=2，OE=8，同①的方法得，OF=4，即AF=AC-OF=2，再判断出△AFG∽△OEG，得出h'=4h，即可得出h=即可得出结论．
（1）∵B（0，12），
∴OB=12，
∵△AOB为等腰三角形，∠BAO=90°，AB=AO，AC⊥OB，
∴AC=BC=OC=OB=6，
∴A（6，6）；
（2）当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，如图1，
由运动知，BD=2t，
∴CD=BC﹣BD=6﹣2t，
∴S=S△ACD=CD×AC=18﹣6t，
当点D在线段BC上时（不包括点C），即：3＜t≤6，如图2，
由运动知，BD=2t，
∴CD=BD﹣BC=2t﹣6，
∴S=S△ACD=CD×AC=6t﹣18；
（3）①当点D在线段BC上时（不包括点C），即：0≤t＜3，如图1，
过点A作AM⊥x轴于M，
∴四边形OCAM是矩形，
∵A（6，6），
∴AC=AM，
∴矩形OCAM是正方形，
∴OM=AC=6，∠CAM=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠CAD=∠EAM，
在△ACD和△AME中，
，
∴△ACD≌△AME，
∴S△ACD=S△AME，
∴S四边形DOEA=S△ACD+S四边形COEA=S△AMF+S四边形COEA=S正方形ACOM=AC2=36，
∵四边形DAEO的面积等于6S，
∴6S=36，
∴S=6，
由（2）知，S=18﹣6t，
∴18﹣6t=6，
∴t=2，
∴CD=EM=6﹣2t=2，
∵OM=6，
∴OE=OM﹣EM=4，
∵AC∥OM，OC=BC，
∴CF=OE=2，
∴AF=AC﹣CF=4=OE，
过点G作GQ⊥OM于Q，交AC于P，
∴PG⊥AC，
∴四边形OCPQ是矩形，
∴PQ=OC=6，
易知，△AFG≌△OEG，
∴PG=QG=6，
∴S△AFG=AF×PG=6；
②当点D在线段OC上（不包括点C），即：3＜t≤6，如图2，
同①的方法知，S=6，
∵S=6t﹣18，
∴6t﹣18=6，
∴t=4，
∴CD=EM=2，
∴OE=8，
同①的方法得，OF=4，
∴AF=AC﹣OF=2，
∵AC∥OM，
∴△AFG∽△OEG，
设△AFG的边AF上的高为h，△OEG的边OE上的高为h'，
∴
．
∴h'=4h，
∵h+h'=6，
∴h=，
∴S△AFG=AF×h=．
