题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5 ,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)AC的长是 , AB的长是 .
(2)在D、E的运动过程中,线段EF与AD的关系是否发生变化?若不变化,那么线段EF与AD是何关系,并给予证明;若变化,请说明理由.
(3)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(4)当t为何值,△BEF的面积是2 ?
【答案】
(1)10;5
(2)
解:EF与AD平行且相等.
证明:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,
∴DF=t.
又∵AE=t,
∴AE=DF,
∵AB⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF.
∴四边形AEFD为平行四边形.
∴EF与AD平行且相等
(3)
解:能;
理由如下:
∵AB⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF.
又∵AE=DF,
∴四边形AEFD为平行四边形.
∵AB=BCtan30°=5 × =5,
∴AC=2AB=10.
∴AD=AC﹣DC=10﹣2t.
若使AEFD为菱形,则需AE=AD,
即t=10﹣2t,t= .
即当t= 时,四边形AEFD为菱形
(4)
解:∵在Rt△CDF中,∠A=30°,
∴DF= CD,
∴CF= t,
又∵BE=AB﹣AE=5﹣t,BF=BC﹣CF=5 ﹣ t,
∴ ,
即: ,
解得:t=3,t=7(不合题意舍去),
∴t=3.
故当t=3时,△BEF的面积为2 .
故答案为:5,10;平行且相等; ;3
【解析】(1)解:∵在Rt△ABC中,∠C=30°,
∴AC=2AB,
根据勾股定理得:AC2﹣AB2=BC2 ,
∴3AB2=75,
∴AB=5,AC=10;
在Rt△ABC中,∠C=30°,则AC=2AB,根据勾股定理得到AC和AB的值.(2)先证四边形AEFD是平行四边形,从而证得AD∥EF,并且AD=EF,在运动过程中关系不变.(3)求得四边形AEFD为平行四边形,若使AEFD为菱形则需要满足的条件及求得.(4)BE=AB﹣AE=5﹣t,BF=BC﹣CF=5 ﹣ t,从而得到 ,然后求得t的值.
【考点精析】掌握含30度角的直角三角形和勾股定理的概念是解答本题的根本,需要知道在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.