Question

已知：二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中a＞b＞0且a、b为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，求|x₁-x₂|的范围．

Answer 1

分析：（1）一次函数经过原点，说明这个一次函数是正比例函数，将点（1，-b）的坐标代入，即可求得这个一次函数的表达式．
（2）将点（1，0）代入抛物线的解析式中，可得到a、b的关系式，用b替换掉a后联立一次函数的解析式，可得到一个关于x的一元二次方程，判断方程的根的判别式是否大于0即可．
（3）由题意知：x₁、x₂是（2）题所得一元二次方程的两个实数根，根据韦达定理即可求得|x₁-x₂|的表达式，然后根据a、b的符号以及（2）题所得a、b的关系式即可得到|x₁-x₂|的取值范围．

解答：解：（1）∵一次函数过原点，
∴设一次函数的解析式为y=kx；
∵一次函数过（1，-b），
∴y=-bx．（3分）

（2）∵y=ax²+bx-2过（1，0），即a+b=2，（4分）
∴b=2-a．
由

y=-bx y=ax2+bx-2

，得：（5分）
ax²+bx-2=-bx，
∴ax²+（2-a）x-2=-（2-a）x，
∴ax²+2（2-a）x-2=0①；
∵△=4（2-a）²+8a=16-16a+4a²+8a=4（a²-2a+1）+12=4（a-1）²+12＞0，
∴方程①有两个不相等的实数根，
∴方程组有两组不同的解，
∴两函数图象有两个不同的交点．（6分）

（3）∵两交点的横坐标x₁、x₂分别是方程①的解，
∴x₁+x₂=-

b

a

，∴x₁+x₂=-

2(2-a)

a

，x1x2=

-2

a

；
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4a2-8a+16 a2

=

( 4 a -1)2+3

；
（或由求根公式得出）（8分）
∵a＞b＞0，a+b=2，
∴2＞a＞1；
令函数y=(

4

a

-1)2+3，
∵在1＜a＜2时，y随a增大而减小．
∴4＜(

4

a

-1)2+3＜12；（9分）
∴2＜

( 4 a -1)2+3

＜2

3

，
∴2＜|x1-x2|＜2

3

．（10分）

点评：此题主要考查的是函数图象交点、根与系数的关系、二次函数的性质以及不等式的应用，能够结合二次函数的性质来解不等式是解决（3）题的关键．