Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-

3

），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作x轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；
（4）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）可以采用待定系数法求二次函数的解析式，因为点A（-1，0）、C（0，-

3

）在函数图象上，对称轴为x=1，也可求得A的对称点B的坐标为（3，0），列方程组即可求得解析式；
（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式即可；
（3）由（2）可求得点F的坐标为（m，

3

3

m-

3

），再求得点P的纵坐标为

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，可得线段PF的长；
（4）利用面积和，△PBC的面积S=S_△CPF+S_△BPF=

1

2

PF×BO，即可求出．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），
依题意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=- 3

，
解得：

a= 3 3 b=- 2 3 3 c=- 3

，
∴所求二次函数的解析式为y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
依题意，得

3k+b=0 b=- 3

，
∴解得：

k= 3 3 b=- 3

，
故直线BC的解析式为：y=

3

3

x-

3

；

（3）∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为：

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，
∵直线BC的解析式为：y=

3

3

x-

3

；
∴点F的坐标为（m，

3

3

m-

3

），
∴PF=-

3

3

m²+

3

m（0＜m＜3）；

（4）∵△PBC的面积为：
S=S_△CPF+S_△BPF
=

1

2

PF×BO=

1

2

×（-

3

3

m²+

3

m）×3
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

9 3

8

，
∴当m=

3

2

时，△PBC的最大面积为

9 3

8

，
把m=

3

2

代入y=

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，
得y=-

5 3

4

，
∴点P的坐标为（

3

2

，-

5 3

4

）．

点评：此题考查了二次函数综合应用，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．