Question

（本小题满分14分）
如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BE=BF，连接EF．

【小题1】（1）若取AE的中点P，求证：BP=CF；
【小题2】（2）在图①中，若将绕点B顺时针方向旋转（0⁰<<360⁰），如图②，是否存在某位置，使得？，若存在，求出所有可能的旋转角的大小；若不存在，请说明理由；
【小题3】（3）在图①中，若将△BEF绕点B顺时针旋转（0⁰<<90⁰），如图③，取AE的中点P，连接BP、CF，求证：BP=CF且BP⊥CF．

Answer 1

【小题1】解：（1）∵ AE = BE，AP = EP
∴ BE = 2PE，AB = 4PE，BP = 3PE…………（1分）
∵ AB = BC，BE =" BF     " ∴ BC = 4PE，BF = 2PE
∴ CF = 6PE…………（2分）       ∴
【小题2】（2）存在…………（４分）
因为将绕点B顺时针方向旋转一周，E、F分别在以点B为圆心，BE为半径的圆周上，如图1，因此过Ａ点做圆Ｂ的切线，设切点是点Ｅ，此时，有AE∥BF。
当圆Ｂ的切线ＡＥ在ＡＢ的右侧时，如图1
∵ AE∥BF∴∠AEB = ∠EBF = 90°     ∵ BE = AB∴∠BAE = 30°
∴∠ABE = 60°，即旋转角是60°…………（6分）
当圆Ｂ的切线ＡＥ在ＡＢ的左侧时，如图2
如图2，∵ AE∥BF
∴∠AEB + ∠EBF = 180°∴∠AEB = 90°
∵ BE = AB     ∴∠BAE = 30°
∴∠ABE = 60°，即旋转角是300°
【小题3】（3）延长BP到点G，使BP=PG，连结AG
∴△APG ≌△BPE
∴ AG = BE，PG = BP，∠G = ∠PBE
∵ BE = BF　　　∴ AG = BF
∵△BEF绕点B顺时针旋转  ∴∠ABE = ，∠CBF = 180°－
∵∠G = ∠PBE　　　　∴∠G + ∠ABP =
∴∠GAB = 180°－　　　∴∠GAB = ∠CBF
又∵ AB = BC，AG = BF
∴△GAB ≌△FBC　　　　∴ BG = CF
∵　　　　∴…………（11分）
延长PB，与CF相交于点H
∵△GAB ≌△FBC　　　　∴∠ABP = ∠BCH
∵∠ABP + ∠CBH = 90°　　　∴∠BCH + ∠CBH =90°
∴ BH⊥CF　　　　即 BP⊥CF…………（14分）

解析