Question

（本小题满分14分）
如图1，抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
 
【小题1】（1）求点A的坐标；
【小题2】（2)当b=0时（如图2），求与的面积。
【小题3】（3）当时，与的面积大小关系如何？为什么？
【小题4】（4）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.

Answer 1

【小题1】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
【小题2】（2）当b＝0时，直线为，
由解得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
所以B、C的坐标分别为B（－2，－2），C（2，2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分               
，．
【小题3】（3）当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
由，解得， ．．．．．．．．．．．．6分
所以B、C的坐标分别为：
B（－，－+b），C（，+b），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
作轴，轴，垂足分别为F、G，
则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
而和是同底的两个三角形，
所以．．．．．．．．．．．．．．
【小题4】存在这样的b. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
因为
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以，即E为BC的中点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以当OE=CE时，为直角三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
因为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
所以 ，而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
所以，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分   

解析