Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；

（2）如图2，以点B为坐标原点，水平方向、竖直方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求直线AF的解析式；

（3）在（2）中的坐标系内是否存在这样的点P，使得以点P、A、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P的坐标。

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) y=-2x+10 (3)见解析.

【解析】

（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算，而后得出F点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）分三种情况：①当以AE为对角线时；②当以AF为对角线时；③当以EF为对角线时，讨论解答即可.

（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE=AB=10，AE2=102=100，
又∵AD2+DE2=82+62=100，
∴AD2+DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，
在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
故BF=5cm；

∴F（5，0），易求直线AF的解析式为：y=-2x+10;
（3）如图所示：

由题意得：A(0,10), E(8,4),F(5,0)

①当以AE为对角线时，

∵四边形AFE为平行四边形，∴AF=E==5,EF=A=,∵F(5,0),E(8,4),可以看作点F的坐标向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到，∴由A(0,10)向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到点(0+3,10+4),即(3,14);

②当以AF为对角线时，

∵四边形AEF为平行四边形，∴AF=F,EF=A,∵A(0,10),E(8,4),可以看作点E的坐标向左平移8个单位，向上平移6个单位，得到，∴由F(5,0)向左平移8个单位，再向上平移6个单位得到点(5-8,0+6),即(-3,6);

③当以EF为对角线时，

∵四边形AEF为平行四边形，∴AF=F,AF=E,∵A(0,10),E(8,4),可以看作点A的坐标向右平移8个单位，再向下平移6个单位得到，∴由F(5,0) 向右平移8个单位，再向下平移6个单位得到点(5+8,0-6),即(13,-6);

综上所述：P1(3，14)，P2(-3，6)，P3(13，-6)