题目内容
【题目】反比例函数y= (x>0)的图像经过线段OA的端点A,O为原点,作AB⊥x轴于点B,点B的坐标为(2,0),tan∠AOB=
,将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置,反比例函数y=
(x>0)的图像恰好经过DC的中点E.
(1)求k的值和直线AE的函数表达式;
(2)若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N,请你探索线段AN与线段ME的大小关系,写出你的结论并说明理由.
【答案】
(1)
解:由已知得,在Rt△OAB中,OB=2,tan∠AOB= ,
∴AB=3,
∴A点的坐标为(2,3),
∴k=xy=6,
∵DC由AB平移得到,点E为DC的中点,
∴点E的纵坐标为 ,
又∵点E在y= (x>0)的图像上,
∴点E的坐标为(4, ),
设直线MN的函数表达式为y=k1x+b,
则 ,
解得 ,
∴直线MN的函数表达式为y=﹣ x+
(2)
解:结论:AN=ME,
理由:在表达式y=﹣ x+
中,
令y=0可得x=6,令x=0可得y= ,
∴点M(6,0),N(0, ),
延长DA交y轴于点F,
则AF⊥ON,且AF=2,OF=3,
∴NF=ON﹣OF=x,∵CM=6﹣4=2=AF,EC= =NF,
在△ANF与△MEC中, ,
∴△ANF≌△MEC,
∴AN=ME.
【解析】(1)由已知得,在Rt△OAB中,OB=2,tan∠AOB= ,求得AB=3,代入y=
得到k=xy=6,根据已知条件得到点E的纵坐标为
,由点E在双曲线y=
(x>0)的图像上,得到点E的坐标为(4,
),解方程组即可得到结论;(2)根据y=﹣
x+
求得点M(6,0),N(0,
),延长DA交y轴于点F,则AF⊥ON,且AF=2,OF=3,根据全等三角形的性质即可得到结论.
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的图象和反比例函数的性质,掌握反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴:直线y=x和 y=-x.对称中心是:原点;性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小; 当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大即可以解答此题.
