题目内容

【题目】反比例函数y= (x>0)的图像经过线段OA的端点A,O为原点,作AB⊥x轴于点B,点B的坐标为(2,0),tan∠AOB= ,将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置,反比例函数y= (x>0)的图像恰好经过DC的中点E.

(1)求k的值和直线AE的函数表达式;
(2)若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N,请你探索线段AN与线段ME的大小关系,写出你的结论并说明理由.

【答案】
(1)

解:由已知得,在Rt△OAB中,OB=2,tan∠AOB=

∴AB=3,

∴A点的坐标为(2,3),

∴k=xy=6,

∵DC由AB平移得到,点E为DC的中点,

∴点E的纵坐标为

又∵点E在y= (x>0)的图像上,

∴点E的坐标为(4, ),

设直线MN的函数表达式为y=k1x+b,

解得

∴直线MN的函数表达式为y=﹣ x+


(2)

解:结论:AN=ME,

理由:在表达式y=﹣ x+ 中,

令y=0可得x=6,令x=0可得y=

∴点M(6,0),N(0, ),

延长DA交y轴于点F,

则AF⊥ON,且AF=2,OF=3,

∴NF=ON﹣OF=x,∵CM=6﹣4=2=AF,EC= =NF,

在△ANF与△MEC中,

∴△ANF≌△MEC,

∴AN=ME.


【解析】(1)由已知得,在Rt△OAB中,OB=2,tan∠AOB= ,求得AB=3,代入y= 得到k=xy=6,根据已知条件得到点E的纵坐标为 ,由点E在双曲线y= (x>0)的图像上,得到点E的坐标为(4, ),解方程组即可得到结论;(2)根据y=﹣ x+ 求得点M(6,0),N(0, ),延长DA交y轴于点F,则AF⊥ON,且AF=2,OF=3,根据全等三角形的性质即可得到结论.
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的图象和反比例函数的性质,掌握反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴:直线y=x和 y=-x.对称中心是:原点;性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小; 当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大即可以解答此题.

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