Question

【题目】已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OE．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°；

在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，

∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，

∴∠BOE=∠A=60°，

∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；

∵EF⊥AC，

∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线

（2）解：连接DF．

∵DF与⊙O相切，

∴∠ADF=90°．

设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4﹣r，AD=4﹣2r．

在Rt△ADF中，∠A=60°，

∴AF=2AD=8﹣4r．

∴FC=4r﹣4；

在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，

∴4﹣r=2（4r﹣4），

解得，r= ；

∴⊙O的半径是 ．

【解析】（1）连接OE．欲证直线EF是⊙O的切线，只需证明EF⊥AC．利用等边三角形的三个内角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的内角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°，从而判定OE∥AC，所以由已知条件EF⊥AC判定OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；（2）连接DF．设⊙O的半径是r．由等边三角形的三个内角都是60°、三条边都相等、以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半求得关于r的方程4﹣r=2（4r﹣4），解方程即可．