Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点F坐标为(4，2)，OG边与y轴重合。将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM
与GF交于点A.
小题1:判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；
小题2:求过点A的反比例函数解析式；
小题3:若（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点， 请探索：直线AB与OM的位置关系，并说明理由.
小题4:在GF所在直线上,是否存在一点Q,使△AOQ为等腰三角形.若存在,请直接写出          
所有满足要求的Q点坐标.

Answer 1

小题1:∵∠OGA=∠M=90°，
∠GOA=∠MON
∴△OGA∽△OMN；
小题2:∵AG：OP=OG：NP，∵OP=OG=2、PN=OM=OE=4，
∴AG=1
∴A（1，2）                             ………………3分
∴
小题3:AB⊥ OM                               ………………5分
代入得 B（4，），                      ………………6
∵AG：BF=OG：AF=2：3，∠AGO=∠BFA=90⁰
△OGA∽△AFB                             ………………7分
∴∠AOG=∠BAF  ∵∠AOG+∠OAG=90⁰
∴∠BAF+∠OAG=90⁰
∴ ∠OAB=90⁰                             
∴AB⊥OM                                 ………………8分
(其它方法酌情给分)
小题4:Q (1+, 2) 或Q(1－,2)                  ………………9分
Q(-1,2) 或  Q(-1.5,2)

（1）根据两个角对应相等，即可证明两个三角形相似；
（2）要求反比例函数的解析式，则需求得点A的坐标，即要求得AG的长，根据旋转的两个图形全等的性质以及相似三角形的对应边的比相等可以求解
（3）求出B点坐标，通过△OGA∽△AFB ，求得∠OAB=90^0，从而得出结论
(4)分别有四种情况符合条件：AQ="OA" (由两种情况)，OQ=OA,QA=OQ