Question

【题目】如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M、N.再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P点，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D与AB中点的连线垂直平分AB；④SΔDAC:SΔABC=1:3；正确的是( )

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据作图的步骤即可判断①；

根据已知和①的结论可求出∠CAD的度数，再根据直角三角形的性质即可求得∠ADC的度数，由此可判断②；

先证明DA=DB，再根据等腰三角形的性质即可判断③；

由②和③可得CD与DB的关系，进而可判断④.

解：根据作图可知：AD是∠BAC的平分线，所以①正确；

∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，

∴∠ADC=60°，所以②正确；

∵∠B=∠BAD=30°，∴DA=DB，根据等腰三角形三线合一的性质知：点D与AB中点的连线垂直平分AB，所以③正确；

在直角△ADC中，∵∠CAD =30°，∴，∴，∴SΔDAC:SΔABC=1:3，所以④正确.

故选：D.