题目内容
【题目】如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系。
小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;
如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由。
【答案】(1)EF=BE+DF;EF=BE+DF仍然成立,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据全等三角形对应边相等即可得结论;(2)EF=BE+DF仍然成立,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG,然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,∠BAE=∠DAG,再求出∠EAF=∠GAF,然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,然后求解即可;
试题解析:解:(1)EF=BE+DF;
EF=BE+DF仍然成立.
证明如下:如图,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;