Question

已知，如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC的点，若AE⊥EF，则：
①求证：△ADE∽△ECF；
②若AD=4，DE=6，CF=3，则试求EF的长度．

Answer 1

分析：（1）利用互余关系证明∠EFC=∠AED，又有∠ADE=∠FCE=90°，可证△ADE∽△ECF；
（2）由（1）的相似得CF：CE=DE：DA，可得CE的长，再根据勾股定理可求EF的长度．

解答：证明：（1）∵∠ADE=∠FCE=90°，
又∵AE⊥EF，
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
又∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠AED，
∴△ADE∽△ECF；

（2）∵△ADE∽△ECF，
∴CF：CE=DE：DA，
∴6CE=3×4，
∴CE=2，
∴EF=

CE2+CF2

=

13

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质．关键是利用互余关系证明相似三角形．