Question

在△ABC中，a、b、c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面积为

3

2

，求b的值．

Answer 1

分析：作辅助线，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可将AD和BD的长用c表示出来，在Rt△ACD中，利用勾股定理和△ABC的面积可将a²+c²的值求出，从而可将b=

1

2

（a+c）的值求出．

解答：解：如图，作AD⊥BC于D，
∵∠B=30°，∴AD=

c

2

，BD=

3

2

c
DC=a-

3

2

c
在Rt△ADC中，AD²+DC²=AC²，
∵AC=b=

a+c

2

，
∴（

c

2

）²+（a-

3

2

c）²=（

a+c

2

）²
∴

c2

4

+a²-

3

ac+

3

4

c²=

1

4

（a²+c²+2ac）①；
又

1

2

•a•

1

2

c=

3

2

，
∴ac=6  ②；
由①②可知，a²+c²=8

3

+4  ③，
（a+c）²=8

3

+4+12=8

3

+16；
∴

1

4

（a+c）²=4+2

3

=（

3

+1）²
∴b=

1

2

（a+c）=

3

+1．

点评：本题主要考查勾股定理和30°角所对的直角边等于斜边的一半的应用，正确运用已知条件是解题的关键．