题目内容
【题目】在中,
,
,点
是线段
上一动点(
不与
,
重合).
(1)如图1,当点为
的中点,过点
作
交
的延长线于点
,求证:
;
(2)连接,作
,
交
于点
.若
时,如图2.
①______;
②求证:为等腰三角形;
(3)连接CD,∠CDE=30°,在点的运动过程中,
的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出
的度数;若不可以,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①120°;②证明见解析;(3)可以是等腰三角形,此时
的度数为
或
.
【解析】
(1)先证明△ACD与△BFD全等,即可得出结论;
(2)①先根据等边对等角及三角形的内角和求出∠B的度数,再由平行线的性质可得出∠ADE的度数,最后根据平角的定义可求出∠CDB的度数;②根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得出∠A=∠EDA,从而可得出结论;
(3)先假设△ECD可以是等腰三角形,再分以下三种情况:I.当时,
;II.当
时,
;III.当
时,
,然后再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形外角的性质求解即可.
(1)证明:,
是
的中线,
.
,
.
,
,
;
(2)①解:∵AC=BC,∠ACB=120°,
∴∠A=∠B=(180°-120°)÷2=30°,
又DE∥BC,
∴∠ADE=∠B=30°,
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=120°,
故答案为:;
②证明:,
.
,
.
,
为等腰三角形.
(3)解:可以是等腰三角形,理由如下:
I.当时,
,如图3,
.
,
.
II.当时,
,如图4,
,
.
.
III.当时,
.
∴,
,
此时,点
与点
重合,不合题意.
综上所述,可以是等腰三角形,此时
的度数为
或
.

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