Question

如图所示，在平面直角坐标系xoy中，M是X轴正半轴上一点，⊙M与X轴的正半轴交于A、B两点，A在B的左侧，且OA、OB的长是方程x²-12x+27=0的两根，ON⊥MN于点N，且点N在⊙M上，点N在第四象限．
（1）求⊙M的直径；
（2）求直线ON对应的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在，请直接写出T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由因式分解求出方程的解，确定A，B两点的坐标，求出⊙M的直径，
（2）由OM，MN的长可以求出∠MON的度数，写出直线ON的解析式，
（3）由ON作为底边和腰，可以直接写出T点坐标．

解答：解：（1）（x-3）（x-9）=0
∴x₁=3，x₂=9，
∴A（3，0），B（9，0），
∴AB=9-3=6．
∴⊙M的直径是6．

（2）∵ON⊥MN，点N在⊙M上，且在第四象限，
OM=6，MN=3，
∴∠MON=30°
∴直线ON的解析式为：y=-

3

3

x．

（3）当ON是等腰三角形的腰时，ON=

62-32

=3

3

，以O为圆心，ON长为半径画弧，与x轴交于T点，则T（-3

3

，0）和T（3

3

，0），以N为圆心，NO长为半径画弧，与x轴交于T点，则T（9，0）；
当ON是等腰三角形的底边时，T（3，0）．
故T点坐标有：（-3

3

，0），（3

3

，0），（9，0），（3，0）．

点评：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，由方程的根确定A，B两点的坐标，可以求出直径的长．有直线和圆的位置关系及圆的半径的关系，可以求出直线的解析式．数形结合可以直接写出T点坐标．