题目内容
如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,
),△AOB的面积是
.
(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在(2)中x轴下方的抛物线上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线,交直线AB于点D,线段OD把△AOB分成两个三角形,使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3 |
3 |
(1)求点B的坐标;
(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在(2)中x轴下方的抛物线上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线,交直线AB于点D,线段OD把△AOB分成两个三角形,使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)由题意得
OB•
=
,
∴B(-2,0).
(2)设抛物线的解析式为y=ax(x+2),代入点A(1,
),得a=
,
∴y=
x2+
x,
(3)存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F,抛物线
的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴
与线段AB的交点时,△AOC的周长最小,
∵△BCE∽△BAF,
∴
=
,
∴CE=
=
,
∴C(-1,
).
(4)存在.如图,设P(x,y),直线AB为y=kx+b,
则
,
解得
,
∴直线AB为y=
x+
,
S四BPOD=S△BPO+S△BOD=
|OB||YP|+
|OB||YD|=|YP|+|YD|
=
x+
-(
x2+
x),
=-
x2-
x+
x+
,
=-
x2-
x+
,
∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=
-
×2×|
x+
|=-
x+
,
∴
=
=
,
∴x1=-
,x2=1(舍去),
∴P(-
,-
),
又∵S△BOD=
x+
,
∴
=
1 |
2 |
3 |
3 |
∴B(-2,0).
(2)设抛物线的解析式为y=ax(x+2),代入点A(1,
3 |
| ||
3 |
∴y=
| ||
3 |
2
| ||
3 |
(3)存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F,抛物线
的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴
与线段AB的交点时,△AOC的周长最小,
∵△BCE∽△BAF,
∴
BE |
BF |
CE |
AF |
∴CE=
BE•AF |
BF |
| ||
3 |
∴C(-1,
| ||
3 |
(4)存在.如图,设P(x,y),直线AB为y=kx+b,
则
|
解得
|
∴直线AB为y=
| ||
3 |
2
| ||
3 |
S四BPOD=S△BPO+S△BOD=
1 |
2 |
1 |
2 |
=
| ||
3 |
2
| ||
3 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
=-
| ||
3 |
2
| ||
3 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
=-
| ||
3 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=
3 |
1 |
2 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
| ||
3 |
| ||
3 |
∴
S△AOD |
S四BPOD |
-
| ||||||||||||
-
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2 |
3 |
∴x1=-
1 |
2 |
∴P(-
1 |
2 |
| ||
4 |
又∵S△BOD=
| ||
3 |
2
| ||
3 |
∴
S△BOD |
S四BPOD |
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