题目内容
如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)求A点坐标并求抛物线的解析式;
(3)若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)求A点坐标并求抛物线的解析式;
(3)若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
(1)y=ax2-5ax+4,
对称轴:x=-
=
;
(2)经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y上,且AC=BC,
令x=0,y=4,可知C点坐标(0,4),
BC∥x轴,所以B点纵坐标也为4,
又∵BC两点关于对称轴x=
对称,
即:
=
,
xB=5,
∴B点坐标(5,4).
A点在x轴上,设A点坐标(m,0),
AC=BC,即AC2=BC2,
AC2=42+m2,
BC=5,
∴42+m2=52,
∴m=±3,
∴A点坐标(-3,0),
将A点坐标之一(-3,0)代入y=ax2-5ax+4,
0=9a+15a+4,
a=-
,
y=-
x2+
x+4;
将A点坐标是(3,0),则与A在x轴的负半轴矛盾,故舍去.
故函数关系式为:y=-
x2+
x+4.
(3)存在符合条件的点P共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与x轴交于N,与CB交于M.
过点B作BQ⊥x轴于Q,
易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,BM=
.
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个:△P1AB.
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80(8分)
在Rt△ANP1中,P1N=
=
=
=
,
∴P1(
,-
).(9分)
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个:△P2AB.
在Rt△BMP2中MP2=
=
=
=
,(10分)
∴P2=(
,
).(11分)
③以AB为底,顶角为角P的△PAB有1个,即△P3AB.
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3,此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.
过点P3作P3K垂直y轴,垂足为K,显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ.
∴
=
=
.
∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1,(13分)
∴P3(2.5,-1).
④以B为顶点时,交于x轴上方,求得P(
,
)(舍去).
对称轴:x=-
-5a |
2a |
5 |
2 |
(2)经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y上,且AC=BC,
令x=0,y=4,可知C点坐标(0,4),
BC∥x轴,所以B点纵坐标也为4,
又∵BC两点关于对称轴x=
5 |
2 |
即:
xB+0 |
2 |
5 |
2 |
xB=5,
∴B点坐标(5,4).
A点在x轴上,设A点坐标(m,0),
AC=BC,即AC2=BC2,
AC2=42+m2,
BC=5,
∴42+m2=52,
∴m=±3,
∴A点坐标(-3,0),
将A点坐标之一(-3,0)代入y=ax2-5ax+4,
0=9a+15a+4,
a=-
1 |
6 |
y=-
1 |
6 |
5 |
6 |
将A点坐标是(3,0),则与A在x轴的负半轴矛盾,故舍去.
故函数关系式为:y=-
1 |
6 |
5 |
6 |
(3)存在符合条件的点P共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与x轴交于N,与CB交于M.
过点B作BQ⊥x轴于Q,
易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,BM=
5 |
2 |
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个:△P1AB.
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80(8分)
在Rt△ANP1中,P1N=
AP12-AN2 |
AB2-AN2 |
80-(5.5)2 |
| ||
2 |
∴P1(
5 |
2 |
| ||
2 |
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个:△P2AB.
在Rt△BMP2中MP2=
B
|
AB2-BM2 |
=
80-
|
=
| ||
2 |
∴P2=(
5 |
2 |
8-
| ||
2 |
③以AB为底,顶角为角P的△PAB有1个,即△P3AB.
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3,此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.
过点P3作P3K垂直y轴,垂足为K,显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ.
∴
P3K |
CK |
BQ |
AQ |
1 |
2 |
∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1,(13分)
∴P3(2.5,-1).
④以B为顶点时,交于x轴上方,求得P(
5 |
2 |
8+
| ||
2 |
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