Question

19、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，且OA=OC+2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交y轴于D点，过D作DF⊥AE于点F．
（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小亮在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形，且△AOE的面积是四边形ABCO面积的一半．由此，他根据自己过去解题的实践断定：“直线BC上一定存在除点E以外的P点，使△AOP既是等腰三角形，又和△AOE的面积相等”．你同意他的断言吗？若同意，请你求出所有满足上述条件的点P的坐标，若不同意，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的面积和OA=OC+2，得到OC的方程，求得OC的长，进一步求得OA的长；
（2）连接O′D，DE．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ODE=90°，则DE∥AB∥OC，根据平行线等分线段定理，得AD=OD．根据三角形的中位线定理，得O′D∥AE，结合DF⊥AE，得O′D⊥DF，则DF为⊙O′的切线；
（3）同意．分两种情况考虑：AO=AP或AO=OP．

解答：（1）解：∵OA•OC=15，OA=OC+2，
∴OC（OC+2）=15，
解，得OC=3或OC=-5（负值舍去）．
∴OA=5，OC=3．

（2）证明：∵OE为直径的⊙O′交y轴于D点，
∴∠ODE=90°．
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠OAB=∠AOC=90°．
∴DE∥AB∥OC．
又BE=CE，
∴AD=OD，
又O′D=O^′O=O′E，
∴O′D∥AE．
又DF⊥AE，
∴O′D⊥DF．
∴DF为⊙O′的切线．

（3）同意；①AO=AP时，P₁（3，9），P₂（3，1）；
②AO=PO时，P₃（3，4），P₄（3，-4）．

点评：此题综合运用了一元二次方程的知识、平行线等分线段定理、三角形的中位线定理以及切线的判定定理．