Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的下底边OA在x轴的负半轴上，CB∥OA，点B的坐标为（-

10

3

，4），OA=

3

2

CB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接PA，设点P的运动时间为t秒．设△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以PA为底△PAB是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵B的坐标为（-

10

3

，4），OA=

3

2

CB，
∴OA=

3

2

×

10

3

=5，
∴A（-5，0），
设AB的解析式为y=kx+b，
把A（-5，0），B（-

10

3

，4）分别代入解析式y=kx+b得，

-5k+b=0 - 10 3 k+b=4

，
解得

k= 12 5 b=12

，
∴一次函数解析式为y=

12

5

x+12；

（2）当0≤t＜

10

3

时，如图1，
∵BP=BC-t=

10

3

-t，
△PAB的高为4，
∴S=

1

2

×（

10

3

-t）×4=-2t+

20

3

，（0≤t＜

10

3

）．
当t≥

10

3

时，如图2，
∵BP=t-

10

3

，△PAB的高为4，
∴S=

1

2

（t-

10

3

）×4=2t-

20

3

，（t≥

10

3

）．


（3）当0≤t＜

10

3

时，如图3，作BD⊥x轴．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5-

10

3

=

5

3

，BD=4，
∴AB=

( 5 3 )2+42

=

13

3

；
当AB=BP时，

13

3

=

10

3

-t，
解得，t=-1＜0，无意义．
当t≥

10

3

时，如图4，设P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t-

10

3

）²=（

13

3

）²，
解得t₁=

10+ 69

3

，t₂=

10- 69

3

（舍去）．
故存在以PA为底△PAB是等腰三角形，此时t=

10+ 69

3

．