Question

如图，在直角坐标系中，点D在y轴上，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD。已知， DO⊥AB， OE⊥BC，E、O分别为垂足，BC="BO" ，O为坐标原点。

(1) 求证：DO=EO

(2) 已知：C点坐标为（4 ， 8），

①求等腰梯形ABCD的腰长；

②问题探究：在这个坐标平面内是否存在点F，使以点F、D、O、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合要求的F点的坐标，并说明理由；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）利用ASA求证△AOD≌△BOF，然后得出DO=EO；

(2)①10 ②F点的坐标为（6.4 ，12.8）

【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD

∴∠OAD=∠OBE(等腰梯形同一底上的两个底角相等)

AD=BC

∵ DO⊥AB， OE⊥BC

∴∠DOA=∠BEO=90°

∴△AOD≌△BOF（ASA），

∴ DO="EO"

（2）利用勾股定律求出腰长，利用菱形边的性质求出E点坐标，然后再平移得出F点的坐标。

①设等腰梯形ABCD的腰长为x，

作CH⊥AB，则矩形ODCH中

OH=DC=4，CH=OD=8，BH=x-4

在R t △CBH中,由勾股定理得

解得x=10

答：等腰梯形ABCD的腰长为10.

②在坐标平面内存在点F，使以点F、D、O、E为顶点的四边形是菱形.

∵ OD=OEDE

∴以F、D、O、E为顶点的菱形唯一存在，四条边只能是是OD、OE、FD、FE，

在菱形DOEF中，FE∥OD，且FE=OD=8

在R t △BOE中，作EG⊥OB，垂足为G.

BO=10，OE=8，则BE=6

由面积法,得EG=4.8

在R t △GOE中,OE=8，EG=4.8，则OG=6.4，即E(6.4,4.8)

将E点向上平移8个单位，得到点F,GF=4.8+8=12.8

∴ F点的坐标为（6.4 ，12.8）

考点：标轴与几何图形的综合运用

点评：该题较为复杂，主要考查学生对几何图在坐标轴中表示形式以及意义，对于证明题要熟练几何中的各种性质和判定。