题目内容
如图,在直角坐标系中,A点的坐标为(8,0),B点的坐标为(0,6),动点P以2/秒的速
(1)求AB的长;
(2)若四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17:3,求t的值;
(3)在P、Q两点移动的过程中,能否使△APQ与△AOB相似?若能,求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.
分析:(1)根据勾股定理可求得AB的长;
(2)由已知得,BP=2t,AQ=t,AP=10-2t,过P作PC⊥OA于C,易得,△APC∽△ABO,由对应线段成比例求得PC=
(10-2t);再由四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17:3,得出S△APC=
S△AOB,由三角形的面积公式求解;
(3)若△APQ与△AOB相似,则要考虑以下2种情况:①∠AQP=90°,②∠APQ=90°.
(2)由已知得,BP=2t,AQ=t,AP=10-2t,过P作PC⊥OA于C,易得,△APC∽△ABO,由对应线段成比例求得PC=
3 |
5 |
3 |
20 |
(3)若△APQ与△AOB相似,则要考虑以下2种情况:①∠AQP=90°,②∠APQ=90°.
解答:解:(1)由已知得,OA=8,OB=6(1分)
在Rt△ABO中,∠O=90°,由勾股定理得,
AB=
=
=10(3分)
(2)由已知得,BP=2t,AQ=t,AP=10-2t
过P作PC⊥OA于C,易得,△APC∽△ABO
∴
=
∴
=
解得,PC=
(10-2t)(4分)
∵四边形BPQO的面积:△APQ的面积的比=17:3
∴S△APC=
S△AOB(5分)
∴
t×
(10-2t)=
×
×6×8
解得,t1=2,t2=3(7分)
(3)若△APQ与△AOB相似,则有以下2种情况:
①∠AQP=90°
∴
=
=
=
(8分)
解得,t=
(9分)
此时,PQ=
(10-2t)=
,OQ=8-t=
∴P(
,
)(10分)
②∠APQ=90°
过P作PD⊥OA于D
∴
=
=
解得,t=
(11分)
此时,PD=
(10-2t)=
,OD=8-t=
,
∴P(
,
)(12分)
综上所述,满足条件的P点的坐标为(
,
)或(
,
)(13分)

在Rt△ABO中,∠O=90°,由勾股定理得,
AB=
OA2+OB2 |
82+62 |
(2)由已知得,BP=2t,AQ=t,AP=10-2t
过P作PC⊥OA于C,易得,△APC∽△ABO
∴
AP |
AB |
PC |
OB |
∴
10-2t |
10 |
PC |
6 |
解得,PC=
3 |
5 |
∵四边形BPQO的面积:△APQ的面积的比=17:3
∴S△APC=
3 |
20 |
∴
1 |
2 |
3 |
5 |
3 |
20 |
1 |
2 |
解得,t1=2,t2=3(7分)
(3)若△APQ与△AOB相似,则有以下2种情况:
①∠AQP=90°
∴
AP |
AB |
AQ |
AO |
10-2t |
10 |
t |
8 |
解得,t=
40 |
13 |
此时,PQ=
3 |
5 |
30 |
13 |
64 |
13 |
∴P(
64 |
13 |
30 |
13 |
②∠APQ=90°
过P作PD⊥OA于D
∴
AP |
AO |
AQ |
AB |
10-2t |
8 |
t |
10 |
解得,t=
25 |
7 |
此时,PD=
3 |
5 |
12 |
7 |
31 |
7 |
∴P(
31 |
7 |
12 |
7 |
综上所述,满足条件的P点的坐标为(
64 |
13 |
30 |
13 |
31 |
7 |
12 |
7 |

点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理、三角形的面积计算、点的坐标等知识点,要注意第三问中,要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例,从而得出运动时间的值.不要忽略掉任何一种情况.

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