题目内容
如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（8，0），B点的坐标为（0，6），动点P以2/秒的速
度从点B出发，沿BA向点A移动，同时动点Q以1/秒的速度从点A出发，沿AO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）．（1）求AB的长；
（2）若四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，求t的值；
（3）在P、Q两点移动的过程中，能否使△APQ与△AOB相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
分析：（1）根据勾股定理可求得AB的长；
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t，过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO，由对应线段成比例求得PC=
(10-2t)；再由四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，得出S△APC=
S△AOB，由三角形的面积公式求解；
（3）若△APQ与△AOB相似，则要考虑以下2种情况：①∠AQP=90°，②∠APQ=90°．
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t，过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO，由对应线段成比例求得PC=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
（3）若△APQ与△AOB相似，则要考虑以下2种情况：①∠AQP=90°，②∠APQ=90°．
解答：解：（1）由已知得，OA=8，OB=6（1分）
在Rt△ABO中，∠O=90°，由勾股定理得，
AB=
=
=10（3分）
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t
过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO
∴
=
∴
=
解得，PC=
(10-2t)（4分）
∵四边形BPQO的面积：△APQ的面积的比=17：3
∴S△APC=
S△AOB（5分）
∴
t×
(10-2t)=
×
×6×8
解得，t1=2，t2=3（7分）
（3）若△APQ与△AOB相似，则有以下2种情况：
①∠AQP=90°
∴
=
=
=
（8分）
解得，t=
（9分）
此时，PQ=
(10-2t)=
，OQ=8-t=
∴P(
，
)（10分）
②∠APQ=90°
过P作PD⊥OA于D
∴
=
=
解得，t=
（11分）
此时，PD=
(10-2t)=
，OD=8-t=
，
∴P(
，
)（12分）
综上所述，满足条件的P点的坐标为(
，
)或(
，
)（13分）
在Rt△ABO中，∠O=90°，由勾股定理得，
AB=
| OA2+OB2 |
| 82+62 |
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t
过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO
∴
| AP |
| AB |
| PC |
| OB |
∴
| 10-2t |
| 10 |
| PC |
| 6 |
解得，PC=
| 3 |
| 5 |
∵四边形BPQO的面积：△APQ的面积的比=17：3
∴S△APC=
| 3 |
| 20 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 2 |
解得，t1=2，t2=3（7分）
（3）若△APQ与△AOB相似，则有以下2种情况：
①∠AQP=90°
∴
| AP |
| AB |
| AQ |
| AO |
| 10-2t |
| 10 |
| t |
| 8 |
解得，t=
| 40 |
| 13 |
此时，PQ=
| 3 |
| 5 |
| 30 |
| 13 |
| 64 |
| 13 |
∴P(
| 64 |
| 13 |
| 30 |
| 13 |
②∠APQ=90°
过P作PD⊥OA于D
∴
| AP |
| AO |
| AQ |
| AB |
| 10-2t |
| 8 |
| t |
| 10 |
解得，t=
| 25 |
| 7 |
此时，PD=
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 7 |
| 31 |
| 7 |
∴P(
| 31 |
| 7 |
| 12 |
| 7 |
综上所述，满足条件的P点的坐标为(
| 64 |
| 13 |
| 30 |
| 13 |
| 31 |
| 7 |
| 12 |
| 7 |
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角形的面积计算、点的坐标等知识点，要注意第三问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
练习册系列答案
相关题目
如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′．
，2）．画出△ABC的两个位似图形△A1B1C1，△A2B2C2，同时满足下列两个条件：