Question

如图①，②，③中，点E，D分别是正△ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．
（1）图①中，∠APD的度数为60°，图②中，∠APD的度数为90°，图③中，∠APD的度数为

 

；（直接写答案）
（2）根据前面探索，将本题推广到一般的正n边形情况．如图④，点E，D分别是正n边形ABCM …中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为

 

．（直接写答案）

Answer 1

分析：此题根据正多边形的性质得到各边相等，各角相等，再结合已知条件可以证明△ABE≌△BCD，得到∠BAE=∠CBD．再根据三角形的外角的性质，可以得到∠APD=∠BAE+∠ABP=∠ABP+∠CBD，即∠APD总等于等边三角形一个内角的度数．推而广之，可以得到在正多边形中，∠APD等于对应的正多边形的每一个内角．

解答：解：（1）∵AB=BC，∠ABE=∠BCD，BE=CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAP=∠CBD，
∴∠APD=∠BAE+∠ABP=∠ABP+∠CBD=∠ABE=108°．

（2）同（1）可证，∠APD=正N边形的一个内角=

(n-2)180°

n

．

点评：此题应当根据正多边形的性质证明一对全等三角形，再结合三角形的外角的性质，发现要求的角总等于正多边形的一个内角．