Question

知识回顾：
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角形．则S_△DEF：S_△ABC=

 

；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形，此时四边形EFGH的形状是

 

，S_{四边形EFGH}：S_{四边形ABCD}=

 

；
（3）实践探究：
如图3，在正五边形ABCDE中，若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点，则中点五边形FGHMN的形状是

 

；若正五边形ABCDE的中心为点O，连接OE、ON，求S_{五边形FGHMN}：S_{五边形ABCDE}的值．

（4）拓展归纳：
在正n边形A₁A₂ …A_n中，若点B₁、B₂ …B_n分别是边A₁A₂、A₂A₃、…、A_nA₁的中点，则中点n边形B₁B₂ …B_n的面积与正n边形A₁A₂ …A_n的面积之比为Sn边形B1B2…Bn：Sn边形A1A2…An=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似且相似比为1：2，故面积为1：4；
（2）易得四边形EFGH为正方形，且面积等于原正方形的面积的一半；
（3）可以利用全等三角形证得五边形为正五边形，设OE交NM于点K，则可得∠ONE=90°，∠OKN=90°，证得△KON∽△NOE，利用面积的比等于相似比的平方，相似比恰恰是∠EON的余弦值，从而得到结论；
（4）按照（3）总结的规律即可得到∠EON为

180°

n

，从而得到结论．

解答：解：（1）1：4；（1分）
（2）正方形；1：2；（3分）
（3）实践探究：正五边形．（4分）
解：设OE交NM于点K，则可得∠ONE=90°，∠OKN=90°，
又∵∠NOE为公共角，
∴△KON∽△NOE．
设△KON的面积为S₁，△NOE的面积为S₂，
则

S1

S2

=(

ON

OE

)2．（6分）
∵∠OEN=

1

2

∠MEN=

1

2

×

(5-2)×180°

5

=54°，
∴∠EON=36°．
∴

S1

S2

=(

ON

OE

)2=sin²54°（或cos²36°）．
∴S_{五边形FGHMN}：S_{五边形ABCDE}=S₁：S₂=sin²54°（或cos²36°）（8分）
（4）拓展归纳：S_{n边形B1B2Bn}：S_{n边形A1A2An=}sin2[

90(n-2)

n

]°（或cos2(

180

n

)°）（10分）

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，是一道综合性较强的题目，难度较大．