题目内容
【题目】如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(﹣2,﹣4),与x轴交于A、B两点,且A(﹣6,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】
(1)解:设此函数的解析式为y=a(x+h)2+k,
∵函数图象顶点为M(﹣2,﹣4),
∴y=a(x+2)2﹣4,
又∵函数图象经过点A(﹣6,0),
∴0=a(﹣6+2)2﹣4
解得a= ,
∴此函数的解析式为y= (x+2)2﹣4,即y= x2+x﹣3
(2)解:∵点C是函数y= x2+x﹣3的图象与y轴的交点,
∴点C的坐标是(0,﹣3),
又当y=0时,有y= x2+x﹣3=0,
解得x1=﹣6,x2=2,
∴点B的坐标是(2,0),
则S△ABC= |AB||OC|= ×8×3=12
(3)解:假设存在这样的点,过点P作PE⊥x轴于点E,交AC于点F.
设E(x,0),则P(x, x2+x﹣3),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵直线AC过点A(﹣6,0),C(0,﹣3),
∴ ,
解得 ,
∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3,
∴点F的坐标为F(x,﹣ x﹣3),
则|PF|=﹣ x﹣3﹣( x2+x﹣3)=﹣ x2﹣ x,
∴S△APC=S△APF+S△CPF
= |PF||AE|+ |PF||OE|
= |PF||OA|= (﹣ x2﹣ x)×6=﹣ x2﹣ x=﹣ (x+3)2+ ,
∴当x=﹣3时,S△APC有最大值 ,
此时点P的坐标是P(﹣3,﹣ )
【解析】(1)根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值,即可解题;(2)易求得点B、C的坐标,即可求得OC的长,即可求得△ABC的面积,即可解题;(3)作PE⊥x轴于点E,交AC于点F,可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和,而这两个三角形有共同的底PF,这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离,因此若设设E(x,0),则可用x来表示△APC的面积,得到关于x的一个二次函数,求得该二次函数最大值,即可解题.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小).
【题目】某校为了解九年级学生的身体素质情况,体育老师对九(1)班50位学生进行测试,根据测试评分标准,将他们的得分进行统计后分为A,B,C,D四等,并绘制成如图所示的频数分布表和扇形统计图.
等第 | 成绩(得分) | 频数(人数) | 频率 |
A | 10分 | 7 | 0.14 |
9分 | x | m | |
B | 8分 | 15 | 0.30 |
7分 | 8 | 0.16 | |
C | 6分 | 4 | 0.08 |
5分 | y | n | |
5分以下 | 3 | 0.06 | |
合计 | 50 | 1 |
(1)直接写出:m,x,y;
(2)求表示得分为C等的扇形的圆心角的度数;
(3)如果该校九年级共有700名学生,试估计这700名学生中成绩达到A等和B等的人数共有多少人?
【题目】某校开展了“让世界充满爱”的捐款助学活动,其中八(2)班全体同学的捐款情况如下表:
捐款金额(元) | 5 | 10 | 15 | 20 | 50 |
捐款人数(人) | 7 | 18 | 12 | 3 |
由于填表的同学不小心把墨水滴在了表上,致使表中数据不完整,但知道捐款金额为10元的人数为全班人数的36%,结合上表回答下列问题:
(1)八(2)班共有多少人?
(2)学生捐款金额的众数和中位数分别为多少元?
(3)如果把该班学生的捐款情况绘制成扇形统计图,则捐款金额为20元的人数所对应的扇形圆心角为多少度?