题目内容

【题目】如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(﹣2,﹣4),与x轴交于A、B两点,且A(﹣6,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大?若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)解:设此函数的解析式为y=a(x+h)2+k,

∵函数图象顶点为M(﹣2,﹣4),

∴y=a(x+2)2﹣4,

又∵函数图象经过点A(﹣6,0),

∴0=a(﹣6+2)2﹣4

解得a=

∴此函数的解析式为y= (x+2)2﹣4,即y= x2+x﹣3


(2)解:∵点C是函数y= x2+x﹣3的图象与y轴的交点,

∴点C的坐标是(0,﹣3),

又当y=0时,有y= x2+x﹣3=0,

解得x1=﹣6,x2=2,

∴点B的坐标是(2,0),

则S△ABC= |AB||OC|= ×8×3=12


(3)解:假设存在这样的点,过点P作PE⊥x轴于点E,交AC于点F.

设E(x,0),则P(x, x2+x﹣3),

设直线AC的解析式为y=kx+b,

∵直线AC过点A(﹣6,0),C(0,﹣3),

解得

∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3,

∴点F的坐标为F(x,﹣ x﹣3),

则|PF|=﹣ x﹣3﹣( x2+x﹣3)=﹣ x2 x,

∴S△APC=S△APF+S△CPF

= |PF||AE|+ |PF||OE|

= |PF||OA|= (﹣ x2 x)×6=﹣ x2 x=﹣ (x+3)2+

∴当x=﹣3时,S△APC有最大值

此时点P的坐标是P(﹣3,﹣


【解析】(1)根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值,即可解题;(2)易求得点B、C的坐标,即可求得OC的长,即可求得△ABC的面积,即可解题;(3)作PE⊥x轴于点E,交AC于点F,可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和,而这两个三角形有共同的底PF,这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离,因此若设设E(x,0),则可用x来表示△APC的面积,得到关于x的一个二次函数,求得该二次函数最大值,即可解题.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小).

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