题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和B（1，0），与y轴交于点C，直线y=
x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣
x2+
x﹣2；D（
， 
）；（2）G（0， 
），（3）P点坐标为（
， 
）或（
，﹣
）．
【解析】试题分析：（1）先由直线y=
x﹣2与x轴的交点求出A点和C点的坐标，再用待定系数法求出求抛物线解析式即可；
（2）作点B关于y轴的对称点B'，连接BB'，交y轴于点G，则B'（﹣1，0），用待定系数法求出直线B'D的解析式，再求与y轴的交点坐标即可；
（3）分AP=AB和BP=AB=3两种情况求解.
解：（1）把x=0代入直线y=
x﹣2中，y=﹣2，
∴C（0，﹣2），
把y=0代入直线y=x﹣2中，x=4，
∴A（4，0），
把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入抛物线y=ax2+bx+c中得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣
x2+
x﹣2=﹣（x2﹣5x+
﹣）﹣2=﹣
（x﹣
）2+
，
∴顶点D（，），
（2）存在，
如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接BB'，交y轴于点G，则B'（﹣1，0），
设直线B'D的解析式为：y=kx+b，
则
，解得：
，
∴直线B'D的解析式为：y=
x+，
∴G（0，），
∴存在点G（0，
），使得GD+GB的值最小；
（3）∵对称轴x=
，且A（4，0），B（1，0），
设P（，m），且AB=4﹣1=3，
分两种情况：
①当AP=AB=3时，即AP=
=3，
解得：m=±
，
②当BP=AB=3时，即BP=
=3，
解得：m=
，
综上所述，P点坐标为（
，
）或（，﹣）．
