Question

【题目】已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为 ．

Answer 1

【答案】（ ，3）或（ ，1）或（2 ，﹣2）
【解析】解：∵点A（0，4），B（7，0），C（7，4）， ∴BC=OA=4，OB=AC=7，分两种情况：（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示：
①当A'E：A'F=1：3时，∵A'E+A'F=BC=4，∴A'E=1，A'F=3，由折叠的性质得：OA'=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF= = ，∴A'（ ，3）；②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（ ，1）；（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：
∵A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2，∴A'F= EF= BC=2，由折叠的性质得：OA'=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF= =2 ，∴A'（2 ，﹣2）；
所以答案是：（ ，3）或（ ，1）或（2 ，﹣2）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．