Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

3

4

x-

3

2

与抛物线y=-

1

4

x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可；
（2）①根据△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y_P-y_D求出二函数最值即可；
②当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

=2，解得x=

-3± 17

2

，
所以得出P点坐标，当点F落在y轴上时，x=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

，解得x=

-7± 89

2

，可得P点坐标．

解答：解：（1）对于y=

3

4

x-

3

2

，当y=0，x=2．当x=-8时，y=-

15

2

．
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为(-8，-

15

2

)．
由抛物线y=-

1

4

x2+bx+c经过A、B两点，
得

0=-1+2b+c - 15 2 =-16-8b+c.

解得b=-

3

4

，c=

5

2

．
∴y=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

．

（2）①设直线y=

3

4

x -

3

2

与y轴交于点M，
当x=0时，y=-

3

2

．∴OM=

3

2

．
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2．∴AM=

OA2+OM2

=

5

2

．
∵OM：OA：AM=3：4：5．
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．
∴DE：PE：PD=3：4：5．
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∵PD⊥x轴，
∴PD两点横坐标相同，
∴PD=y_P-y_D=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

-（

3

4

x-

3

2

）
=-

1

4

x²-

3

2

x+4，
∴l=

12

5

(-

1

4

x2-

3

2

x+4)
=-

3

5

x2-

18

5

x+

48

5

．
∴l=-

3

5

(x+3)2+15．
∴x=-3时，l_最大=15．
②当点G落在y轴上时，如图2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，
即-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

=2，解得x=

-3± 17

2

，
所以P1(

-3+ 17

2

，2)，P2(

-3- 17

2

，2)，
如图3，过点P作PN⊥y轴于点N，过点P作PS⊥x轴于点S，
由△PNF≌△PSA，
PN=PS，可得P点横纵坐标相等，
故得当点F落在y轴上时，
x=-

1

4

x2-

3

4

x+

5

2

，解得x=

-7± 89

2

，
可得P3(

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

)，P4(

-7- 89

2

，

-7- 89

2

)（舍去）．
综上所述：满足题意的点P有三个，分别是P1(

-3+ 17

2

，2)，P2(

-3- 17

2

，2)
P3(

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

)．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定以及待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合进行分析以及灵活应用相似三角形的判定是解决问题的关键．