Question

将一副三角板按图1中方式叠放，使三角板DEF的边DE始终经过点B，另两边分别与AB，BC边交于点G和点H，且∠DBA=∠DHB．
（1）如图1，若摆放后点H与点C重合，求证：GH=2DB．
（2）如图2，若点H不与点C重合，请问（1）中的结论依然成立吗？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长BD、HA相交于点M，根据等腰直角三角形的性质可得AB=AH，再求出∠DBA=∠AHG，然后利用“角边角”证明△ABM和△AHG全等，根据全等三角形对应边相等可得GH=BM，再求出∠DHB=∠AHG，再利用“角边角”证明△BDH和△MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=DM，从而得证；
（2）过点H作HN∥AC交AB于N，延长与BD的延长线相交于点M，同（1）所求．

解答：（1）证明：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，点H与点C重合，
∴AB=AH，
∵∠DBA+∠BGD=90°，∠AHG+∠AGH=90°，
∴∠DBA=∠AHG，
在△ABM和△AHG中，

∠DBA=∠AHG AB=AH ∠BAM=∠HAG

，
∴△ABM≌△AHG（ASA），
∴GH=BM，
∵∠DBA=∠DHB，∠DBA=∠AHG，
∴∠DHB=∠AHG，
在△BDH和△MDH中，

∠DHB=∠AHG HD=HD ∠BDH=∠MDH=90°

，
∴△BDH≌△MDH（ASA），
∴BD=DM，
∴GH=2DB；

（2）解：结论依然成立．
如图，过点H作HN∥AC交AB于N，延长与BD的延长线相交于点M，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△BHN是等腰直角三角形，
∴HN=BN，
∵∠DBA+∠BGD=90°，∠NHG+∠NGH=90°，
∴∠DBA=∠NHG，
在△NBM和△NHG中，

∠DBA=∠NHG HN=BN ∠BNM=∠HNG=90°

，
∴△NBM≌△NHG（ASA），
∴GH=BM，
∵∠DBA=∠DHB，∠DBA=∠NHG，
∴∠DHB=∠NHG，
在△BDH和△MDH中，

∠DHB=∠NHG HD=HD ∠BDH=∠MDH=90°

，
∴△BDH≌△MDH（ASA），
∴BD=DM，
∴GH=2DB．
或简写：由（1）知，△NBM≌△NHG，
∴GH=BM，
同理可证，△BDH≌△MDH，
∴BD=DM，
∴GH=2DB．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．