Question

如图，△ABC中，BC >AC，点D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点．
（1）求证：EF∥BD ；
（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形BDFE的面积．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）由题意可推出△ADC为等腰三角形，CF为顶角的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此F为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，即EF∥BD.
（2）根据（1）的结论，可以推出△AEF∽△ABD，且S△AEF：S△ABD=1：4，所以S△AEF：S四边形BDEF=1：3，即可求出△AEF的面积，从而由求得四边形BDFE的面积．
（1）∵ CA=CD，CF平分∠ACB，∴ CF是AD边的中线．
∵ E是AB的中点，∴ EF是△ABD的中位线．
∴ EF∥BD .
（2）∵∠ACB=60°，CA=CD，∴△CAD是等边三角形．
∴∠ADC=60°，AD=DC=AC=8．∴ BD=BC-CD=4．
如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M ．
∴．．
∵ EF∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，且．
∴．∴．
四边形BDFE的面积=．