题目内容
已知二次函数y=x2+ax+a-2.
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点A、B的距离为
时，求出此二次函数的解析式.
（3）若（2）中的条件不变，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为
，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点A、B的距离为
时，求出此二次函数的解析式. （3）若（2）中的条件不变，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为
，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由. （1）因为△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4＞0，所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.
（2）设x1、x2是x2+ax+a-2=0的两个根，由韦达定理得， x1+x2=-a，x1x2=a-2，
因两交点的距离是AB=
，所以
=
=
. 即(x1-x2)2=13，
即(x1-x2)2=13，
变形为(x1+x2)2-4x1x2=13，所以(-a)2-4(a-2)=13
整理，得a2-4a-5=0，解得a1=5，或a2=-1.
又因为a＜0，所以a=-1，
所以此二次函数的解析式为y=x2-x-3.
（3）设点P的坐标为(x0，y0)，因为AB=
所以
所以
=3，则y0=±3.
当y0=3时，x02-x0-3=3，解得x0=-2，或3；
当y0=-3时，x02-x0-3=-3，解得x0=0，或1.
综上所述， P点坐标是(-2，3)，(3，3)，(0，-3)或(1，-3).
（2）设x1、x2是x2+ax+a-2=0的两个根，由韦达定理得， x1+x2=-a，x1x2=a-2，
因两交点的距离是AB=
，所以==. 即(x1-x2)2=13， 即(x1-x2)2=13，
变形为(x1+x2)2-4x1x2=13，所以(-a)2-4(a-2)=13
整理，得a2-4a-5=0，解得a1=5，或a2=-1.
又因为a＜0，所以a=-1，
所以此二次函数的解析式为y=x2-x-3.
（3）设点P的坐标为(x0，y0)，因为AB=
所以
所以
=3，则y0=±3. 当y0=3时，x02-x0-3=3，解得x0=-2，或3；
当y0=-3时，x02-x0-3=-3，解得x0=0，或1.
综上所述， P点坐标是(-2，3)，(3，3)，(0，-3)或(1，-3).
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科学实验活动册系列答案
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