题目内容
【题目】如图，将平行四边形纸片
沿对角线
翻折，使点
落在平行四边形所在平面内，
和
相交于点
，连接
判断和的位置关系，并证明．
在图1中，若
，是否存在
恰好为直角三角形的情形?若存在，求出
的长度：若不存在，请说明理由．
若将图中平行四边形纸片换成矩形纸片，沿对角线折叠发现所得图形是轴对称图形；将所得图形沿其对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形．则矩形纸片的长宽之比是多少?请直接写出结果．
【答案】（1）平行，理由见解析（2）存在当BC的长为2或3或6或4时，△AB′D是直角三角形（3）矩形纸片ABCD的长宽之比是1：1或
：1
【解析】
（1）由折叠知BC＝B′C，∠ACB＝∠ACB′，结合∠ACB＝∠CAD知∠ACB′＝∠CAD，得AE＝CE，再由BC＝B′C＝AD知DE＝B′E，从而得∠EDB′＝∠EB′D，根据∠AEC＝∠DEB′得∠ACB′＝∠CAD＝∠EDB′＝∠EB′D，从而得证．
（2）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题；
（3）①当AB：AD＝1：1时，符合题意．②当AD：AB＝：1时，也符合题意，根据全等三角形的判定与性质及含30°的直角三角形的性质即可求解．
（1）B′D∥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
由折叠知BC＝B′C，∠ACB＝∠ACB′，
∴∠ACB′＝∠CAD，
∴AE＝CE，
又∵BC＝B′C＝AD，
∴DE＝B′E，
∴∠EDB′＝∠EB′D，
∵∠AEC＝∠DEB′，
∴∠ACB′＝∠CAD＝∠EDB′＝∠EB′D，
∴B′D∥AC；
（2）∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B＝30°，
∴∠AB′C＝∠CDA＝30°，
当∠B′AD＝90°，AB＞BC时，如图1中，
设∠ADB′＝∠CB′D＝y，
∴∠AB′D＝y30°，
解得y＝60°，
∴∠AB′D＝y30°＝30°，
∵AB′＝AB＝2，设AD=x，则B’D=2x
∴B’D2=AD2+AB’2，即（2x）2=x2+(2)2，解得x=2
∴AD＝2，
∴BC＝2；
当∠ADB′＝90°，AB＞BC时，如图2，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′＝90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴AC=
AB=
∴BC＝
＝3；
当∠B′AD＝90°，AB＜BC时，如图3，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD＝90°，
∵∠B＝30°，AB′＝2，
∴∠AB′C＝30°，
∴AE=B’E，B’E=2AE，
∴B’E2=AE2+AB’2，即（2AE）2=AE2+(2)2，
∴AE＝2，B’E＝2AE＝4，
∵∠ACB＝∠ACB’=∠CAD =30°
∴AE＝EC＝2，
∴CB′＝6，
当∠AB′D＝90°时，如图4，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是平行四边形，
∵∠AB′D＝90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴BC=2AC，AC=BC
∴BC2=AC2+AB2，即（BC）2=（BC）2+(2)2，
∴BC＝4；
∴已知当BC的长为2或3或6或4时，△AB′D是直角三角形．
（3）如图5中，
①当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，
∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，
∴△AEB′≌△AEF（AAS），
∴AB′＝AF，
此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．
②当AD：AB＝：1时，也符合题意，
则AD=AB
∴AC=
∴∠DAC=30°，
∴AC＝2CD，
∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，
∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．
综上，矩形纸片ABCD的长宽之比是1：1或：1．
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