Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，点D是劣弧BC的中点，AD与BC交于点E，延长BD与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点．
（1）连接OG．判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE=BF；
（3）若AE=6，求弦CD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC、OD．利用等腰三角形的“三线合一”的性质来判定OG⊥CD；
（2）根据圆周角定理推知：∠ACB=90°、∠CAE=∠CBF；然后通过全等三角形的判定定理ASA来证明Rt△ACE≌Rt△BCF，由全等三角形的对应边相等知AE=BF．
（3）根据∠ADB=90°，可知AD⊥BF，可得，又知

CD

=

BD

，从而得到∠FAD=∠BAD，可知∠F=∠FBA，求出DB=3，即CD=3．

解答：解：（1）猜想：OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD．
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（3分）

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴△ACE≌△BCF（ASA）∴AE=BF．（12分）

（3）∵∠ADB=90°，可知AD⊥BF，
∵

CD

=

BD

，
∴∠FAD=∠BAD，
∴∠F=∠FBA，
∴CD=BD=

1

2

BF=

1

2

×6=3．

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质．在圆中，常见的辅助线之一：构造直径所对的圆周角．