Question

已知抛物线y=-

1

2

x²+bx+4上有不同的两点E（k+3，0）和F（-k-1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线y=-

1

2

x²+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当k＞0且∠PMQ的边过点F时，求m、n的值．

Answer 1

（1）抛物线y=-

1

2

x2+bx+4的对称轴为x=-

b

2×(- 1 2 )

=b．　
∵抛物线上不同两个点E（k+3，0）和F（-k-1，0）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　b=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，且k≠-2．
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+x+4．　
　　　　　　　　　　
（2）∵抛物线y=-

1

2

x2+x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=4

2

，AM=BM=2

2

．　　　　　　　　　　　　　　　　
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
故△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴

BC

AM

=

BM

AD

，
即　

n

2 2

=

2 2

m

，
n=

8

m

．
故n和m之间的函数关系式为n=

8

m

（m＞0）．　　
　　　　　　　
（3）∵F（-k-1，0）在y=-

1

2

x2+x+4上，
∴-

1

2

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化简得，k²-4k+3=0，
∴k₁=1，k₂=3．　　　　
∵k＞0，
∴F（-2，0）或（-4，0）．　　　　　　　　　　　　
①当MF过M（2，2）和F（-2，0），设MF为y=kx+b，
则　

2k+b=2 -2k+b=0.

解得，

k= 1 2 b=1.

∴直线MF的解析式为y=

1

2

x+1．
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）．
若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=

8

3

；
若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=

4

3

．　　
②MF过M（2，2）和F₁（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2 -4k+b=-8

，
解得

k= 5 3 b=- 4 3

；
∴直线MF的解析式为 y=

5

3

x-

4

3

；
直线MF与x轴交点为（

4

5

，0），与y轴交点为（0，-

4

3

）；
若MP过点F（-4，-8），则n=4-（-

4

3

）=

16

3

，m=

3

2

；
若MQ过点F（-4，-8），则m=4-

4

5

=

16

5

，n=

5

2

；
故当

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

，

m4= 16 5 n4= 5 2

时，∠PMQ的边过点F．