Question

已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系为______．

Answer 1

【答案】分析：设过B的直线交AC于D．因为没有指明是哪两个边相等，故应该分情况进行分析，从而求解．
解答：解：设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB＞90°，
∠CBD=∠CDB=90°-，∠A=180°-x-y．
此时只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-[90°-x]
3x+4y=540°，即∠ABC=135°-∠C；
②若∠C是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，
△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
（i）由AB=AD，得2x=y-x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．
（ii）由AB=BD，得180°-x-y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C．
（iii）由AD=BD，得180°-x-y=y-x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角．
（iiii）当BD=BC时，但这种情况与∠C是最小角不符，不成立．
故答案为：∠ABC=135°-∠C或∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=3∠C，∠C是小于45°的任意
角．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．