Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．
（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ与⊙O相切；
（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）解：当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：

∵四边形AMQN为正方形．

∴∠MAN=90°，

∴MN为⊙O的直径，

而∠MQN=90°，

∴点Q在⊙O上，

∴AQ为直径，

∴点P在圆心，

∴MN=AQ=2，AP=1，

∴t=AP=1，CQ=t=1，

∴AC=AQ+CQ=2+1=3

【解析】解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5﹣2t， ∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5﹣2t，解得t= ；
当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，

OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽Rt△OQN，
∴ ，即 = ，
整理得t2﹣5t+5=0，解得t1= ，t2= （1≤t≤2.5，故舍去），
即当t= 时，NQ与⊙O相切；
所以答案是 ， ；
【考点精析】本题主要考查了菱形的判定方法和正方形的判定方法的相关知识点，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角才能正确解答此题．