题目内容
【题目】结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答.
题目:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.
解:设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x.
根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.
整理,得x2+7x=12.
所以S△ABC=ACBC
=(x+3)(x+4)
=(x2+7x+12)
=×(12+12)
=12.
小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?
请你帮她完成下面的探索.
已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.
可以一般化吗?
(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.
倒过来思考呢?
(2)若ACBC=2mn,求证∠C=90°.
改变一下条件……
(3)若∠C=60°,用m、n表示△ABC的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)S△ABC=mn;
【解析】
(1)设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x,仿照例题利用勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,再根据S△ABC=AC×BC,即可证明S△ABC=mn.(2)由ACBC=2mn,得x2+(m+n)x=mn,因此AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=AB2,利用勾股定理逆定理可得∠C=90°.(3)过点A作AG⊥BC于点G,在Rt△ACG中,根据条件求出AG、CG,又根据BG=BC-CG得到BG .在Rt△ABG中,根据勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,由此S△ABC=BCAG=mn.
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x,
根据切线长定理,得:AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x,
(1)如图1,
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得:(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,
整理,得:x2+(m+n)x=mn,
所以S△ABC=ACBC
=(x+m)(x+n)
= [x2+(m+n)x+mn]
=(mn+mn)
=mn;
(2)由ACBC=2mn,得:(x+m)(x+n)=2mn,
整理,得:x2+(m+n)x=mn,
∴AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2
=2[x2+(m+n)x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=(m+n)2
=AB2,
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°;
(3)如图2,过点A作AG⊥BC于点G,
在Rt△ACG中,AG=ACsin60°=(x+m),CG=ACcos60°=(x+m),
∴BG=BC﹣CG=(x+n)﹣(x+m),
在Rt△ABG中,根据勾股定理可得:[(x+m)]2+[(x+n)﹣(x+m)]2=(m+n)2,
整理,得:x2+(m+n)x=3mn,
∴S△ABC=BCAG
=×(x+n)(x+m)
= [x2+(m+n)x+mn]
=×(3mn+mn)
=mn.