题目内容

【题目】结果如此巧合!

下面是小颖对一道题目的解答.

题目:如图,RtABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.

解:设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x.

根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2

整理,得x2+7x=12.

所以SABC=ACBC

=(x+3)(x+4)

=(x2+7x+12)

=×(12+12)

=12.

小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于ADBD的积.这仅仅是巧合吗?

请你帮她完成下面的探索.

已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.

可以一般化吗?

(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.

倒过来思考呢?

(2)若ACBC=2mn,求证∠C=90°.

改变一下条件……

(3)若∠C=60°,用m、n表示△ABC的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)SABC=mn;

【解析】

1)设ABC的内切圆分别与ACBC相切于点EFCE的长为x,仿照例题利用勾股定理得(xm2+(xn2=(mn2,再根据SABCAC×BC,即可证明SABCmn.(2)由ACBC=2mn,得x2+(mnxmn,因此AC2BC2=(xm2+(xn2AB2,利用勾股定理逆定理可得∠C=90°.(3)过点AAGBC于点G,在RtACG中,根据条件求出AGCG,又根据BGBCCG得到BG .RtABG中,根据勾股定理可得x2+(mnx=3mn,由此SABCBCAGmn.

ABC的内切圆分别与ACBC相切于点EFCE的长为x

根据切线长定理,得:AEADmBFBDnCFCEx

(1)如图1,

RtABC中,根据勾股定理,得:(xm2+(xn2=(mn2

整理,得:x2+(mnxmn

所以SABCACBC

xm)(xn

[x2+(mnxmn]

mnmn

mn;

(2)由ACBC=2mn,得:(xm)(xn)=2mn

整理,得:x2+(mnxmn

AC2BC2=(xm2+(xn2

=2[x2+(mnx]+m2n2

=2mnm2n2

=(mn2

AB2

根据勾股定理逆定理可得∠C=90°;

(3)如图2,过点AAGBC于点G

RtACG中,AGACsin60°=xm),CGACcos60°=xm),

BGBCCG=(xn)﹣xm),

RtABG中,根据勾股定理可得:[xm)]2+[(xn)﹣xm)]2=(mn2

整理,得:x2+(mnx=3mn

SABCBCAG

×(xnxm

[x2+(mnxmn]

×(3mnmn

mn

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