题目内容
【题目】如图1,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求点B的坐标;
(2)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
【答案】(1)B的坐标为(,4);(2)证明见解析;(3)1.
【解析】
试题分析:(1)由在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,根据三角函数的知识,即可求得AB与OA的长,即可求得点B的坐标;
(2)首先可得CE∥AB,D是OB的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可证得BD=AD,∠ADB=60°,又由△OBC是等边三角形,可得∠ADB=∠OBC,根据内错角相等,两直线平行,可证得BC∥AE,继而可得四边形ABCD是平行四边形;
(3)首先设OG的长为x,由折叠的性质可得:AG=CG=8﹣x,然后根据勾股定理即可求得OG的长.
试题解析:(1)解:在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,∴OA=OBcos30°==,AB=OBsin30°=8×=4,∴点B的坐标为(,4);
(2)证明:∵∠OAB=90°,∴AB⊥x轴,∵y轴⊥x轴,∴AB∥y轴,即AB∥CE,∵∠AOB=30°,∴∠OBA=60°,∵DB=DO=4,∴DB=AB=4,∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°,∴∠ADB=60°,∵△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60°,∴∠ADB=∠OBC,即AD∥BC,∴四边形ABCE是平行四边形;
(3)解:设OG的长为x,∵OC=OB=8,∴CG=8﹣x,由折叠的性质可得:AG=CG=8﹣x,在Rt△AOG中,,即,解得:x=1,即OG=1.