Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a-b+1＞0．其中正确结论的个数是______个．

Answer 1

①根据题意画大致图象如图所示，
由y=ax²+bx+c与X轴的交点坐标为（-2，0）得：
a×（-2）²+b×（-2 ）+c=0，即4a-2b+c=0，
所以正确；
②由图象开口向下知a＜0，
由y=ax²+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
则该抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=

(-2)+x1

2

＞-

1

2

，即

b

a

＜1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，对称轴x=-

b

2a

＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．故正确；
③由一元二次方程根与系数的关系知x1．x2=

c

a

＜-2，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确，
④由4a-2b+c=0得2a-b=-

c

2

，而0＜c＜2，∴-1＜-

c

2

＜0∴-1＜2a-b＜0∴2a-b+1＞0，所以结论正确．
故填正确结论的个数是4个．