题目内容
如图,平行四边形OBCD中,OB=8cm,BC=6cm,∠DOB=45°,点P从O沿OB边向点B移动,点Q从点B沿BC边向点C移动,P,Q同时出发,速度都是1cm/s.(1)求经过O,B,D三点的抛物线的解析式;
(2)判断P,Q移动几秒时,△PBQ为等腰三角形;
(3)若允许P点越过B点在BC上运动,Q点越过C点在CD上运动,设线PQ与OB,BC,DC围成
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/94/930ad4d5.png)
分析:(1)首先过点D作DM⊥OB于M,由平行四边形OBCD中,OB=8cm,BC=6cm,∠DOB=45°,即可求得点D的坐标,然后设经过O,B,D三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-8),利用待定系数法即可求得经过O,B,D三点的抛物线的解析式;
(2)由平行四边形的性质可得∠PBQ=180°-∠DOB=135°,所以若△PBQ为等腰三角形,则PB=BQ.然后设P,Q移动t秒时,△PBQ为等腰三角形,即可方程:8-t=t,解此方程即可求得答案;
(3)首先根据题意作出图形,然后利用相似三角形的对应边成比例,求得PH的长,又由y=S?OBCD-S△CPQ,即可求得y与t之间的函数关系式,由P点越过B点在BC上运动,Q点越过C点在CD上运动,即可求得t的取值范围.
(2)由平行四边形的性质可得∠PBQ=180°-∠DOB=135°,所以若△PBQ为等腰三角形,则PB=BQ.然后设P,Q移动t秒时,△PBQ为等腰三角形,即可方程:8-t=t,解此方程即可求得答案;
(3)首先根据题意作出图形,然后利用相似三角形的对应边成比例,求得PH的长,又由y=S?OBCD-S△CPQ,即可求得y与t之间的函数关系式,由P点越过B点在BC上运动,Q点越过C点在CD上运动,即可求得t的取值范围.
解答:
解:(1)过点D作DM⊥OB于M,
∵平行四边形OBCD中,OB=8cm,BC=6cm,∠DOB=45°,
∴OD=BC=6cm,
∴OM=DM=OD•sin45°=6×
=3
,
∴D(3
,3
),B(8,0),
设经过O,B,D三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-8),
将D的坐标代入得:3
=3
a•(3
-8),
解得:a=-
,
∴y=-
x(x-8);
(2)∵∠PBQ=180°-∠DOB=135°,
∴若△PBQ为等腰三角形,则PB=BQ.
设P,Q移动t秒时,△PBQ为等腰三角形,
∴P点走过的路程为t,Q点走过的路程为t,
∴PB=OB-t=8-t(cm),BQ=tcm.
若PB=BQ,
则8-t=t,
解得:t=4(s).
∴P,Q移动4秒时,△PBQ为等腰三角形;
(3)如图:过点D作DM⊥OB于M,过点P作PN⊥OB于N,交CD于H,![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/94/29cefed8.png)
∵四边形OBCD是平行四边形,
∴CD=OB=8cm,BC=OD=6cm,CD∥OB,HN=DM=3
cm,
∴PH⊥CD,△CPH∽△BPN,
∴
=
,
由题意得:PC=14-t(cm),PB=t-8(cm),CQ=t-6(cm),
∴
=
,
解得:PH=
(14-t),
∴y=S?OBCD-S△CPQ=8×3
-
(t-6)×
(14-t)=
t2-5
t+45
,
∵P点越过B点在BC上运动,Q点越过C点在CD上运动,
∴8<t≤14,
∴y与t之间的函数关系式为y=
t2-5
t+45
,t的取值范围为8<t≤14.
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/94/2f82d0ce.png)
∵平行四边形OBCD中,OB=8cm,BC=6cm,∠DOB=45°,
∴OD=BC=6cm,
∴OM=DM=OD•sin45°=6×
| ||
2 |
2 |
∴D(3
2 |
2 |
设经过O,B,D三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-8),
将D的坐标代入得:3
2 |
2 |
2 |
解得:a=-
8+3
| ||
46 |
∴y=-
8+3
| ||
46 |
(2)∵∠PBQ=180°-∠DOB=135°,
∴若△PBQ为等腰三角形,则PB=BQ.
设P,Q移动t秒时,△PBQ为等腰三角形,
∴P点走过的路程为t,Q点走过的路程为t,
∴PB=OB-t=8-t(cm),BQ=tcm.
若PB=BQ,
则8-t=t,
解得:t=4(s).
∴P,Q移动4秒时,△PBQ为等腰三角形;
(3)如图:过点D作DM⊥OB于M,过点P作PN⊥OB于N,交CD于H,
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/94/29cefed8.png)
∵四边形OBCD是平行四边形,
∴CD=OB=8cm,BC=OD=6cm,CD∥OB,HN=DM=3
2 |
∴PH⊥CD,△CPH∽△BPN,
∴
PH |
PN |
CP |
BP |
由题意得:PC=14-t(cm),PB=t-8(cm),CQ=t-6(cm),
∴
PH | ||
3
|
14-t |
t-8 |
解得:PH=
| ||
2 |
∴y=S?OBCD-S△CPQ=8×3
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
| ||
4 |
2 |
2 |
∵P点越过B点在BC上运动,Q点越过C点在CD上运动,
∴8<t≤14,
∴y与t之间的函数关系式为y=
| ||
4 |
2 |
2 |
点评:此题考查了平行四边形的性质,待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定与性质以及多边形面积的求解方法等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目