Question

如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移．

（1）在平移过程中，得到△A₁B₁C₁，此时顶点A₁恰落在直线l上，写出A₁点的坐标　   　；
（2）继续向右平移，得到△A₂B₂C₂，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；
（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A₂、B₂、C₂任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）（，3）。
（2）P（3，1）。
（3）存在四个点，与（2）中的A₂、B₂、C₂任意两点能同时构成三个等腰三角形，分别是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。

试题分析：（1）∵等边三角形ABC的高为3，∴A₁点的纵坐标为3。
∵顶点A₁恰落在直线l上，∴，解得；x=。
∴A₁点的坐标是（，3）。
（2）设P（x，y），连接A₂P并延长交x轴于点H，连接B₂P，先求出A₂B₂=2，HB₂=，根据点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，得出PH=1，将y=1代入，即可得出点P的坐标。
设P（x，y），连接A₂P并延长交x轴于点H，连接B₂P，
在等边三角△A₂B₂C₂中，高A₂H=3，
∴A₂B₂=2，HB₂=。
∵点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，
∴∠PB₂H=30°。
∴PH=1，即y=1。
将y=1代入，解得：x=3。
∴P（3，1）。
（3）分四种情况分别讨论。
∵点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，
∴△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，
∴点P满足的条件，由（2）得P（3，1）。

由（2）得，C₂（4，0），点C₂满足直线的关系式，∴点C₂与点M重合。
∴∠PMB₂=30°。
设点Q满足的条件，△QA₂B₂，△B₂QC₂，△A₂QC₂能构成等腰三角形，
此时QA₂=QB₂，B₂Q=B₂C₂，A₂Q=A₂C₂。
作QD⊥x轴与点D，连接QB₂，
∵QB₂=2，∠QB₂D=2∠PMB₂=60°，∴QD=3，∴Q（，3）。
设点S满足的条件，△SA₂B₂，△C₂B₂S，△C₂PA₂是等腰三角形，
此时SA₂=SB₂，C₂B₂=C₂S，C₂A₂=C₂S。
作SF⊥x轴于点F，
∵SC₂=2，∠SB₂C₂=∠PMB₂=30°，∴SF=。∴S（4﹣3，）。
设点R满足的条件，△RA₂B₂，△C₂B₂R，△C₂A₂R能构成等腰三角形，
此时RA₂=RB₂，C₂B₂=C₂R，C₂A₂=C₂R。
作RE⊥x轴于点E，
∵RC₂=2，∠RC₂E=∠PMB₂=30°，∴ER=。∴R（4+3，﹣）。
综上所述，存在四个点，与（2）中的A₂、B₂、C₂任意两点能同时构成三个等腰三角形，分别是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。